一道积分不等式的推广
陈洪葛
posted @ 12 年前
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设f(x)∈C是实值函数,且满足
∫10f(x)dx=∫10xf(x)dx=⋯=∫10xn−1f(x)dx=1
(tian_275461)
证明:
∫10(f(x))2dx≥n2
证明:
首先,我们考虑多项式P(x)
P(x)=a0+a1x+⋯+an−1xn−1
若多项式P(x)也满足上面的条件,那么
∫10(P(x))2dx=a0+a1+⋯+an−1
为了求出系数ai我们再次利用条件.
∫10xkP(x)dx=1k=0,1,…n−1
⇒a0k+1+a1k+2+⋯+an−1k+n=1k=0,1,…n−1
设
H(x)=a0x+1+a1x+2+⋯+an−1x+n−1
则显然有
H(0)=H(1)=⋯=H(n−1)=0
H(x)应该有
H(x)=A⋅x⋅(x−1)⋅(x−2)⋯(x−n+1)(x+1)(x+2)⋯(x+n)
通过对比系数得A=−1,及
ak=(−1)n−k−1(n+k)!(k!)2⋅(n−k−1)!k=0,1,…n−1
用数学归纳法不难证明
n−1∑k=0ak=n2
所以,若多项式P(x)满足上面的性质,则
∫10(P(x))2dx=a0+a1+⋯+an−1=n2
取满足以上条件的多项式P(x)
应用Cauchy-Schwarz不等式
∫10(P(x))2dx∫10(f(x))2dx≥(∫10P(x)f(x)dx)2=n4
⇒∫10(f(x))2dx≥n2
Done!