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一道积分不等式的推广

陈洪葛 posted @ 12 年前 in 数学分析 , 1229 阅读

f(x)C是实值函数,且满足
10f(x)dx=10xf(x)dx==10xn1f(x)dx=1

(tian_275461)
证明:
10(f(x))2dxn2
证明:
首先,我们考虑多项式P(x)
P(x)=a0+a1x++an1xn1
若多项式P(x)也满足上面的条件,那么
10(P(x))2dx=a0+a1++an1
为了求出系数ai我们再次利用条件.
10xkP(x)dx=1k=0,1,n1
a0k+1+a1k+2++an1k+n=1k=0,1,n1

H(x)=a0x+1+a1x+2++an1x+n1
则显然有
H(0)=H(1)==H(n1)=0
H(x)应该有
H(x)=Ax(x1)(x2)(xn+1)(x+1)(x+2)(x+n)
通过对比系数得A=1,及
ak=(1)nk1(n+k)!(k!)2(nk1)!k=0,1,n1
用数学归纳法不难证明
n1k=0ak=n2
所以,若多项式P(x)满足上面的性质,则
10(P(x))2dx=a0+a1++an1=n2
取满足以上条件的多项式P(x)
应用Cauchy-Schwarz不等式
10(P(x))2dx10(f(x))2dx(10P(x)f(x)dx)2=n4
10(f(x))2dxn2
Done!


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