设$f_{n}:\mathbf{R}^{n}\to \mathbf{R}$为连续函数，且
\[ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=f(x)\qquad \forall x\in \mathbf{R}^{n} \]
则$f$的连续点集在$\mathbf{R}^{n}$中为稠密的$G_{\delta}$集.

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证明：

我们首先注意到，若$G\subseteq \mathbf{R}$为开集，则$f^{-1}(G)$为$F_{\sigma}$集
事实上，由于$R$中的开集$G$是可数个构成区间的并，故不妨设$G$是一个开区间$(a,b)$.而我们知道
\[ \{x|f_{k}(x)\geq a+\varepsilon\}  \]
是闭集，由于$f_{k}(x)$的连续性，从而
\[ \{x|f(x)>a \}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{m=1}^{\infty}\bigcap_{k=m}^{\infty}\left\{x|f_{k}(x)\geq a+\frac{1}{n}\right\} \]
是$F_{\sigma}$集.同理$\{x|f(x)<b\}$也是$F_{\sigma}$集合.而他们的交集
\[ f^{-1}((a,b))=\{x|f(x)>a \}\bigcap\{x|f(x)<b\} \]
也是$F_{\sigma}$集.为了证明$f(x)$的连续点是稠密的$G_{\delta}$集，我们只要证$f(x)$的不连续点是没有内点的$F_{\sigma}$集.记$D(f)$为$f(x)$的不连续点集合，任意的$a\in D(f)$,存在$p,q\in \mathbf{Q}$使得
\[ p<f(a)<q\]
\[ \Leftrightarrow\qquad a\in f^{-1}((p,q)) \]
\[ a\notin f^{-1}(R-(p,q)) \]
而存在点列$\{a_{n}\}$使得
\[ \lim_{n\to\infty}a_{n}=a,\qquad f(a_{n})\notin(p,q) \]
\[ \Leftrightarrow\qquad a_{n}\notin f^{-1}(p,q) \]
\[ \Leftrightarrow\qquad a_{n}\in f^{-1}(R-(p,q)), \lim_{n\to\infty}a_{n}=a \]
于是
\[ a\in \overline{f^{-1}(R-(p,q))}-f^{-1}(R-(p,q)) \]
所以
\[ D(f)=\bigcup_{p<q,\text{$p,q$为有理数}}[\overline{f^{-1}(R-(p,q))}-f^{-1}(R-(p,q))] \]
而$f^{-1}(R-(p,q))$为$G_{\delta}$集，故
\[ \overline{f^{-1}(R-(p,q))}-f^{-1}(R-(p,q)) \]
为$F_{\sigma}$集.并且$\overline{f^{-1}(R-(p,q))}-f^{-1}(R-(p,q))=\partial f^{-1}(R-(p,q))$是没内点的.它是可数个无内点的闭集的并，所以$D(f)$也是可数个无内点的闭集的并。由Baire定理，$D(f)$是无内点的$F_{\sigma}$集.所以$R^{n}\setminus D(f)$是稠密集合.

从这个结论可以看出，导函数的连续点也是稠密的，只要注意到

\[ f'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}} \]

就好.