设$P_{0}(x)=\sqrt{x}$,$P_{n+1}(x)=\frac{1}{2}P_{n}^{2}(x)+(1-\sqrt{x})P_{n}(x)$,证明
\[ P_{n}(x)\rightrightarrows 0\qquad (x\in[0,1]) \]

证明：这个题源自周民强的习题集，实际是越南1989年的一个竞赛题的改编，但解答几乎都是采用了数学归纳法，外表看似合理，但是却难以想到。昨天看见西哥给出了不是归纳的办法，赞一个。现收录如下

不难发现$P_{n}(x)\geq P_{n+1}(x)$,和

\[ 0\leq P_{n}(x)\leq \sqrt{x} \]

现在注意到

\[ P_{n+1}(x)=P_{n}(x)\left(\frac{1}{2}P_{n}(x)+1-\sqrt{x}\right)\leq P_{n}(x)\left(1-\frac{1}{2}\sqrt{x}\right)\]

就有

\[ P_{n+1}(x)\leq P_{0}(x)\left(1-\frac{1}{2}\sqrt{x}\right)^{n}=\left(\frac{n}{2}\right)^{n}\sqrt{x}\left(\frac{2}{n}-\frac{1}{n}\sqrt{x}\right)^{n}\leq \left(\frac{n}{2}\right)^{n}\left(\frac{2}{n+1}\right)^{n+1}\leq \frac{2}{n+1} \]

显然就有

\[ P_{n}(x)\rightrightarrows 0\qquad (x\in[0,1]) \]