一个关于凹函数的积分不等式
陈洪葛
posted @ 12 年前
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设f(x)是在[0,1]非负的连续的凹函数,且f(0)=1, 求证:
2∫10x2f(x)dx+112≤(∫10f(x)dx)2
证明
设 F(x)=∫x0f(t)dt
由于f(x)是凹函数,所以有
f(t)−f(0)t−0≥f(x)−f(0)x−0,t∈(0,x)
⇒f(t)≥tx(f(x)−1)+1
故
I=∫10x2f(x)dx=∫10x2dF(x)=F(1)−2∫10x∫x0f(t)dtdx≤F(1)−I−13
所以
2I≤F(1)−13
只要证明
F(1)−13+112≤F2(1)
⇔(F(1)−14)2≥0
显然成立。
◻
下面的题和这个有着公共的内核。手段一样,所以在这里不证明了。
若f:[0,1]→R是连续凹函数,且满足f(0)=1,证明:
∫10xf(x)dx≤23(∫10f(x)dx)2