设$f(x)$是在$[0,1]$非负的连续的凹函数，且$f(0)=1$, 求证:
\[ 2\int_{0}^{1}{x^2f(x)dx}+\frac{1}{12}\leq \left(\int_{0}^{1}{f(x)dx} \right)^{2} \]
证明
设 \[ F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}\]
由于$f(x)$是凹函数，所以有
\[ \frac{f(t)-f(0)}{t-0}\geq \frac{f(x)-f(0)}{x-0}, \qquad  t\in(0,x) \]
\[ \Rightarrow f(t)\geq \frac{t}{x}(f(x)-1)+1 \]
故
\[\begin{align*}
  I=\int_{0}^{1}{x^2f(x)dx}&=\int_{0}^{1}{x^2dF(x)}\\
  &=F(1)-2\int_{0}^{1}{x\int_{0}^{x}{f(t)dt}dx}\\
  &\leq F(1)-I-\frac{1}{3}
\end{align*} \]
所以
\[ 2I\leq F(1)-\frac{1}{3} \]
只要证明
\[ F(1)-\frac{1}{3}+\frac{1}{12}\leq F^{2}(1) \]
\[ \Leftrightarrow \left(F(1)-\frac{1}{4}\right)^{2}\geq 0 \]
显然成立。
$\square$
下面的题和这个有着公共的内核。手段一样，所以在这里不证明了。
若$f:[0,1]\rightarrow \mathbf{R}$是连续凹函数，且满足$f(0)=1,$证明:
\[ \int_{0}^{1}{xf(x)dx}\leq \dfrac{2}{3}\left(\int_{0}^{1}{f(x)dx}\right)^{2} \]