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一个关于凹函数的积分不等式

陈洪葛 posted @ 12 年前 in 数学分析 , 1119 阅读

f(x)是在[0,1]非负的连续的凹函数,且f(0)=1, 求证:
210x2f(x)dx+112(10f(x)dx)2
证明
F(x)=x0f(t)dt
由于f(x)是凹函数,所以有
f(t)f(0)t0f(x)f(0)x0,t(0,x)
f(t)tx(f(x)1)+1

I=10x2f(x)dx=10x2dF(x)=F(1)210xx0f(t)dtdxF(1)I13
所以
2IF(1)13
只要证明
F(1)13+112F2(1)
(F(1)14)20
显然成立。

下面的题和这个有着公共的内核。手段一样,所以在这里不证明了。
f:[0,1]R是连续凹函数,且满足f(0)=1,证明:
10xf(x)dx23(10f(x)dx)2


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