关于中心极限定理的一个极限

陈洪葛 posted @ Mar 01, 2013 08:05:43 PM in 数学分析 , 1025 阅读

求极限
\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots+\frac{n^n}{n!}}{e^n}\]

(高等数学中的若干问题解析)
解:\begin{equation*}
    e^n=1+n+\frac{n^2}{2!}+\cdots +\frac{n^n}{n!}+\frac{1}{n!}\int_0^n e^x(n-x)^n\mathrm{d}x
\end{equation*}
原命题等价于
\begin{equation*}
  \lim_{n\to\infty}\frac{e^{-n}}{n!}\int_0^n e^x(n-x)^n\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\quad\text{而}
     n!=\sqrt{2n\pi}(\frac{n}{e})^ne^{\frac{\theta}{12n}},\theta\in(0,1)
\end{equation*}
\begin{equation*}
   \Leftrightarrow \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^1[e^x(1-x)]^n\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\end{equation*}
注意到~$e^{-\frac{x^2}{2}}\geq(1-x)e^x (x\geq 0)$
\begin{equation*}
   \therefore\qquad \overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt{n}\int_0^1[e^x(1-x)]^n\mathrm{d}x\leq
    \overline{\lim_{n\to\infty}}\int_0^1\sqrt{n}e^{-\frac{nx^2}{2}}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\end{equation*}
考虑
\begin{equation*}
  f(x)=(1-x)e^x-e^{-\frac{ax^2}{2}}(x\geq 0,a\geq 1),f'(x)=xe^x(ae^{-\frac{ax^2}{2}-x}-1)
\end{equation*}
$\displaystyle\because\quad \lim_{x\to 0^+}(ae^{-\frac{ax^2}{2}-x}-1)=a-1>0$,故存在$x_a\in(0,1)$,使得
\[ae^{-\frac{ax^2}{2}-x}-1>0\]
\begin{align*}
   (1-x)e^x\geq e^{-\frac{ax^2}{2}}(x\in[0,x_a])
    &\Rightarrow\mathop{\underline{\lim}}_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^1[e^x(1-x)]^n\mathrm{d}x \\
    &\geq\mathop{\underline{\lim}}_{n\to\infty}\int_0^{x_a}\sqrt{n}e^{-\frac{nax^2}{2}}\mathrm{d}x\\
    &=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
\end{align*}
因为$a$是任意的,所以
\begin{equation*}
 \mathop{\underline{\lim}}_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^1[e^x(1-x)]^n\mathrm{d}x\geq\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\end{equation*}
综上得
\begin{equation*}
   \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^1[e^x(1-x)]^n\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\end{equation*}


登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter