209 设$f:[0,1]\rightarrow R$是连续函数，且满足
$$\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{xf(x)dx}$$
求证：存在$\xi\in(0,1)$满足
$$f(\xi)=f'(\xi)\int_{0}^{\xi}{f(x)dx}$$
证明:
我们设 $$F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$
可得
$$\int_{0}^{1}{F(x)dx}=0$$
也就是存在
$$F(c)=0$$
构造辅助函数
$$G(x)=e^{-f(x)}\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$
于是有
$$G(0)=G(c)=0$$
由Rolle定理知,存在$\xi$,使得
$$f(\xi)=f'(\xi)\int_{0}^{\xi}{f(t)dt}$$
$\square$

210-212 设$f:[0,1]\rightarrow R$是连续函数，且满足
$$\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{xf(x)dx}$$
求证：存在$\xi\in(0,1)$满足
(1) $$\xi f(\xi)=\int_{0}^{\xi}{xf(x)dx}$$
(2) $$\xi f(\xi)=2\int_{\xi}^{0}{xf(x)dx}$$
(3) $$\xi^2f(\xi)=\int_{0}^{\xi}{xf(x)dx}$$
证明：很容易看见这3个问题构造的辅助函数为
$$G_{1}(x)=e^{-x}\int_{0}^{x}{tf(t)dt}$$
$$G_{2}(x)=e^{2x}\int_{0}^{x}{tf(t)dt}$$
$$G_{3}(x)=\frac{\int_{0}^{x}{tf(t)dt}}{x}$$
并且都有
$$G_{i}(0)=0 \qquad i=1,2,3$$
这3个辅助函数都和$\displaystyle \int_{0}^{x}{tf(t)dt}$有关，也就是说我们剩下的工作只要找到一点$c\in(0,1)$使得
$$\int_{0}^{c}{tf(t)dt}=0$$
然后再用Rolle定理，则上面3个问题自明。
为此，设
$$F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$
问题变成
要找到一点$c\in(0,1)$使得
$$cF(c)=\int_{0}^{c}{F(x)dx}$$
我们有条件
$$F(0)=0, \int_{0}^{1}{F(x)dx}=0$$
要怎么证明上面的问题呢？
自然想到构造辅助函数
$$H(x)=\frac{\int_{0}^{x}{F(t)dt}}{x}$$
并做连续性开拓
$$H(x)=\left\{      \begin{array}{ll}       \frac{\int_{0}^{x}{F(t)dt}}{x} & \hbox{$x\in(0,1]$;} \\        F(0) & \hbox{$x=0$.}      \end{array}    \right.$$
容易发现
$$H(0)=H(1)=0$$
所以对$H(x)$用Rolle定理有$c\in(0,1)$使得
$$cF(c)=\int_{0}^{c}{F(x)dx}$$
也就是
$$\int_{0}^{c}{tf(t)dt}=0$$
因此，有
$$G_{i}(0)=G_{i}(c)=0$$
再用Rolle定理，就全部搞定了。
$\square$