209 设$f:[0,1]\rightarrow R$是连续函数，且满足
\[ \int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{xf(x)dx} \]
求证：存在$\xi\in(0,1)$满足
$$f(\xi)=f'(\xi)\int_{0}^{\xi}{f(x)dx} $$
证明:
我们设\[ F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt} \]
可得
\[ \int_{0}^{1}{F(x)dx}=0 \]
也就是存在
\[ F(c)=0 \]
构造辅助函数
\[ G(x)=e^{-f(x)}\int_{0}^{x}{f(t)dt} \]
于是有
\[ G(0)=G(c)=0 \]
由Rolle定理知,存在$\xi$,使得
\[ f(\xi)=f'(\xi)\int_{0}^{\xi}{f(t)dt} \]
$\square$

210-212 设$f:[0,1]\rightarrow R$是连续函数，且满足
\[ \int_{0}^{1}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{xf(x)dx} \]
求证：存在$\xi\in(0,1)$满足
(1) \[ \xi f(\xi)=\int_{0}^{\xi}{xf(x)dx} \]
(2) \[ \xi f(\xi)=2\int_{\xi}^{0}{xf(x)dx} \]
(3) \[ \xi^2f(\xi)=\int_{0}^{\xi}{xf(x)dx} \]
证明：很容易看见这3个问题构造的辅助函数为
\[ G_{1}(x)=e^{-x}\int_{0}^{x}{tf(t)dt} \]
\[ G_{2}(x)=e^{2x}\int_{0}^{x}{tf(t)dt} \]
\[ G_{3}(x)=\frac{\int_{0}^{x}{tf(t)dt}}{x} \]
并且都有
$$ G_{i}(0)=0 \qquad i=1,2,3 $$
这3个辅助函数都和$\displaystyle \int_{0}^{x}{tf(t)dt} $有关，也就是说我们剩下的工作只要找到一点$c\in(0,1)$使得
\[ \int_{0}^{c}{tf(t)dt}=0 \]
然后再用Rolle定理，则上面3个问题自明。
为此，设
\[ F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt} \]
问题变成
要找到一点$c\in(0,1)$使得
\[ cF(c)=\int_{0}^{c}{F(x)dx} \]
我们有条件
\[ F(0)=0, \int_{0}^{1}{F(x)dx}=0 \]
要怎么证明上面的问题呢？
自然想到构造辅助函数
\[ H(x)=\frac{\int_{0}^{x}{F(t)dt}}{x} \]
并做连续性开拓
\[  H(x)=\left\{
     \begin{array}{ll}
      \frac{\int_{0}^{x}{F(t)dt}}{x} & \hbox{$x\in(0,1]$;} \\
       F(0) & \hbox{$x=0$.}
     \end{array}
   \right. \]
容易发现
\[ H(0)=H(1)=0 \]
所以对$H(x)$用Rolle定理有$c\in(0,1)$使得
\[ cF(c)=\int_{0}^{c}{F(x)dx} \]
也就是
\[ \int_{0}^{c}{tf(t)dt}=0 \]
因此，有
\[ G_{i}(0)=G_{i}(c)=0 \]
再用Rolle定理，就全部搞定了。
$\square$