来着群里讨论的一个不等式
陈洪葛
posted @ 12 年前
in 不等式
, 1228 阅读
设x,y,z∈R,证明
5(x4+y4+z4)+7(x3y+y3z+z3x)≥0
证明:
仿照以前的做法我们可以把不等式加强为有基本取等条件x=y=z的那种。
5(x4+y4+z4)+7(x3y+y3z+z3x)≥3681(x+y+z)4
展开(这个系数有点大,不着急,慢慢展)
369∑x4+423∑x3y−143∑xy3−216∑x2y2−432∑x2yz≥0
到至今为止,这个3元4次不等式已经不是问题了,直接套Vo Quoc Ba Can配方文章中的结论,
只要验证
{m>0,3m(m+n)≥p2+pg+g2,
这里
m=369,n=−216,p=423,g=−143
3m(m+n)−(p2+pg+g2)=169371−(178929+20449−60189)=30182>0
所以不等式得证。 ◼
同样的手段奏效于
3(x4+y4+z4)+4(x3y+y3z+z3x)≥0
事实上,我们可以用pqr来弄出那个最佳系数 :)
(x4+y4+z4)+k(x3y+y3z+z3x)≥0