设$x,y,z\in R$,证明

\[ 5(x^4+y^4+z^4)+7(x^3y+y^3z+z^3x)\geq 0 \]
证明：
仿照以前的做法我们可以把不等式加强为有基本取等条件$x=y=z$的那种。
\[ 5(x^4+y^4+z^4)+7(x^3y+y^3z+z^3x)\geq \frac{36}{81}(x+y+z)^4 \]
展开（这个系数有点大，不着急，慢慢展）
\[ 369\sum{x^4}+423\sum{x^3y}-143\sum{xy^3}-216\sum{x^2y^2}-432\sum{x^2yz}\geq 0 \]
到至今为止，这个3元4次不等式已经不是问题了，直接套Vo Quoc Ba Can配方文章中的结论，
只要验证
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
 m>0, & \\
 3m(m+n)\geq p^2+pg+g^2, &
 \end{array}
   \right.\]
这里
\[ m=369,n=-216, p=423,g=-143 \]
\[ 3m(m+n)-(p^2+pg+g^2)=169371-(178929+20449-60189)=30182>0 \]
所以不等式得证。                      $\blacksquare$

同样的手段奏效于

\[ 3(x^4+y^4+z^4)+4(x^3y+y^3z+z^3x)\geq 0  \]

事实上，我们可以用pqr来弄出那个最佳系数 :)

\[ (x^4+y^4+z^4)+k(x^3y+y^3z+z^3x)\geq 0 \]