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来着群里讨论的一个不等式

陈洪葛 posted @ 12 年前 in 不等式 , 1228 阅读

x,y,zR,证明


5(x4+y4+z4)+7(x3y+y3z+z3x)0
证明:
仿照以前的做法我们可以把不等式加强为有基本取等条件x=y=z的那种。
5(x4+y4+z4)+7(x3y+y3z+z3x)3681(x+y+z)4
展开(这个系数有点大,不着急,慢慢展)
369x4+423x3y143xy3216x2y2432x2yz0
到至今为止,这个3元4次不等式已经不是问题了,直接套Vo Quoc Ba Can配方文章中的结论,
只要验证
{m>0,3m(m+n)p2+pg+g2,
这里
m=369,n=216,p=423,g=143
3m(m+n)(p2+pg+g2)=169371(178929+2044960189)=30182>0
所以不等式得证。                     

同样的手段奏效于

3(x4+y4+z4)+4(x3y+y3z+z3x)0

事实上,我们可以用pqr来弄出那个最佳系数 :)

(x4+y4+z4)+k(x3y+y3z+z3x)0

 


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