chuangni网友问的一道分析问题

陈洪葛 posted @ Apr 17, 2013 03:13:54 PM in 数学分析 , 895 阅读

设$f\in C(\mathbf{R^1})$,令
\[ \delta_{n}(x)=2^{n}\left[f\left(x+\frac{1}{2^n}\right)-f(x)\right] \]

\[ |\delta_{n}(x)|\leq M\qquad (x\in \mathbf{R},n\in \mathbf{N}) \]

\[  \delta_{n}(x)\rightarrow 0 \qquad (n\rightarrow\infty) \]
试证明$f(x)$是一个常数。
证明对

$ \forall a,b\in \mathbf{R}$,不妨设$a<b$.
由于$f(x)$是$\mathbf{R}$上的连续函数,每个$\delta_{n}(x)$都是$[a,b]$上的Lebesgue可积函数,且满足Lebesgue控制收敛定理的条件。故有
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}{\delta_{n}(x)dx}}=\int_{a}^{b}{\lim_{n\rightarrow\infty}{\delta_{n}(x)}dx}=0\]
注意到
\begin{align*}
\int_{a}^{b}{\delta_{n}(x)dx}&=2^{n}\int_{a}^{b}{\left(f\left(x+\frac{1}{2^n}\right)-f(x)  \right)dx}\\
&=2^{n}\left(\int_{b}^{b+\frac{1}{2^n}}{f(x)dx}-\int_{a}^{a+\frac{1}{2^n}}{f(x)dx}  \right)
\end{align*}
由于$f(x)$的连续性,我们有
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}{2^{n}}{\int_{a}^{a+\frac{1}{2^n}}{f(x)dx}}=f(a) \]

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}{2^{n}}{\int_{b}^{b+\frac{1}{2^n}}{f(x)dx}}=f(b) \]
这样就有
\[ f(b)-f(a)=\lim_{n\rightarrow\infty}{\int_{a}^{b}{\delta_{n}(x)dx}}=0 \]
命题得证!  $\blacksquare$


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