对$\forall m\neq 0$,若一个连续函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$满足函数方程
\[ f\left(2x-\frac{f(x)}{m}\right)=mx\]
则有$f(x)=m(x-c)$.
证明:
我们设$g(x)=2x-\frac{f(x)}{m}$,显然$g(x)$是连续函数且有
\[ g(g(x))=2g(x)-x \qquad \forall x\in\mathbb{R}\]
若$g(x_1)=g(x_2)$则有$g(g(x_{1}))=g(g(x_{2}))$,我们得到
\[ x_{1}=x_{2}\]
故$g(x)$是一个单射，而我们知道，若$g(x)$是一个连续的单射，则$g(x)$严格单调。（关于这一点可以用反证法证明）,因此，$g(x)$有2种情况,严格递增或者严格递减。下证明$g(x)$只能严格递增。
(反证)设$g(x)$严格递减，则对于$x_{1}<x_{2}$,我们有$g(x_{1})>g(x_{2})$,接着又有$g(g(x_{1}))<g(g(x_{2}))$.而这等价于
\[ 2g(x_{1})-x_{1}<2g(x_{2})-x_{2}\]
\[ \Leftrightarrow 2[g(x_{1})-g(x_{2})]<x_{1}-x_{2}\]
上面不可能成立，因为左边大于0而右边小于0。故$g(x)$只能严格递增。
改写$g(g(x))=2g(x)-x$为
\[ g(g(x))-g(x)=g(x)-x \]
递推后得到
\[ g^{n}(x)=ng(x)-(n-1)x  \qquad (n\geq 1) \]
这里$g^(n)(x)$表示$n$次符合。
则有
\[ g^{n}(x)-g^{n}(0)=n[g(x)-x-g(0)]+x \]
\[ \Leftrightarrow \frac{ g^{n}(x)-g^{n}(0)}{n}=g(x)-x-g(0)+\frac{x}{n}\]
而$g(x)$严格递增，$g^{n}(x)$也严格递增，故对上式令$n\rightarrow\infty$,由$g(x)$的单调性，我们得到

$$g(x)\leq x+g(0),\qquad x<0$$
$$g(x)\geq x+g(0),\qquad x>0$$

这样，我们得到$g(x)$的值域也是$\mathbb{R}$，故$g(x)$是一个一一映射。且$g^{-1}$存在。现在，用$x=g^{-1}(g^{-1}(y))$带入原来的方程，则有
\[ g^{-1}(g^{-1}(y))=2g^{-1}(y)-y\]
$g^{-1}(y)$同样满足这个方程，则用相同的手段，我们得到

$$g^{-1}(y)\leq y+g(0),\qquad y<0$$
$$g^{-1}(y)\geq y+g(0),\qquad y>0$$

现在，用$x=g^{-1}(y)$带入
\[ g(g(x))-g(x)=g(x)-x \]
得到
\[ g(y)-y=y-g^{-1}(y)\]
令$y=0$得到$g^{-1}(0)=-g(0)$
假设$g(0)\geq 0$,则对$x>0$有$g(x)\geq x+g(0)>0$,则对$y=g(x)>0$有$x>g(x)+g^{-1}(0)=g(x)-g(0)$.故得到
\[ g(x)=x+g(0) \qquad (x>0) \]
同理可得
\[ g(x)=x+g(0) \qquad (x<0) \]
这样我们得到$f(x)=m(x-g(0)）$对$x\in \mathbb{R}$成立。