关于多重对数函数(Dilogarithm)的一些性质的推导

陈洪葛 posted @ Jun 04, 2013 08:15:41 PM in 数学分析 , 2054 阅读

       多重对数函数(polylogarithm)也称:Jonquière's function 是数学中一种特殊的幂级数,定义为:
\[ \text{Li}_{s}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{z^{k}}{k^{s}}} \]
一般来说,多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数。上述定义中,自变量$|z| < 1$,$s$对所有复数值有效。通过解析延拓,可以将$z$的定义域扩展到更大的范围。$s=1$时的多重对数函数可以用自然对数表示$\text{Li}_{1}(z)=-\ln{(1-z)}$,$s = 2$和$3$的多重对数函数分别称为 Dilogarithm 及 Trilogarithm,其名称的由来是多重对数函数表示为以下的递推积分式
\[ \text{Li}_{s+1}(z)=\int_{0}^{z}{\frac{\text{Li}_{s}(t)}{t}dt} \]
其中 Dilogarithm 可以表示成
\[ \text{Li}_{2}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{z^{k}}{k^2}}=-\int_{0}^{z}{\frac{\ln(1-t)}{t}dt}\]

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%87%8D%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0

http://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html

http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html


有以下4条常用性质值得注意
(1)
\[ \text{Li}_{2}(x)+\text{Li}_{2}(-x)=\frac{1}{2}\text{Li}_{2}(x^2) \]
(2)
\[ \text{Li}_{2}(1-x)+\text{Li}_{2}\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{2}\ln^2{x} \]
(3)
\[ \text{Li}_{2}(x)+\text{Li}_{2}(1-x)=\frac{1}{6}\pi^2-\ln{x}\cdot\ln(1-x) \]
(4)
\[ \text{Li}_{2}(-x)-\text{Li}_{2}(1-x)+\frac{1}{2}\text{Li}_{2}(1-x^2)=-\frac{1}{12}\pi^2-\ln{x}\cdot\ln{(x+1)}\]
证明
(1)
\begin{align*}
   \text{Li}_{2}(x)+\text{Li}_{2}(-x)&=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n+(-x)^n}{n^2}}\\
   &=\sum_{k=1}^{\infty}{2\cdot\frac{x^{2k}}{(2k)^2}}\\
   &=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{x^{2k}}{2k^2}}=\frac{1}{2}\text{Li}_{2}(x^2)
\end{align*}
(2)

\[ \int_{0}^{1-x}{\frac{-\ln{(1-t)}}{t}dt}+\int_{0}^{1-\frac{1}{x}}{\frac{-\ln{(1-t)}}{t}dt}=I_{1}+I_{2} \]
对$I_{2}$作替换$\displaystyle t=1-\frac{1}{1-y}\Rightarrow dt=-\frac{1}{(1-y)^2}dy$
\[ I_{2}=\int_{0}^{1-x}{\frac{\ln(1-y)}{y(1-y)}dy}=\int_{0}^{1-x}{\frac{\ln(1-y)}{y}dy}+\int_{0}^{1-x}{\frac{\ln(1-y)}{1-y}dy} \]
所以
\[ I_{1}+I_{2}= \int_{0}^{1-x}{\frac{\ln(1-y)}{1-y}dy}=-\frac{1}{2}\ln^{2}(1-y)\bigg|_{0}^{1-x}=-\frac{1}{2}\ln^2{x} \]
(3)

\[ \int_{0}^{x}{\frac{-\ln(1-t)}{t}dt}+\int_{0}^{1-x}{\frac{-\ln(1-t)}{t}dt}=I_{1}+I_{2} \]
对$I_{1}$作替换$y=1-t $
\begin{align*}
I_{1}+I_{2}&=\int_{1-x}^{1}{\frac{-\ln{y}}{1-y}dy}+\int_{0}^{1-x}{\frac{-\ln(1-t)}{t}dt}\\
&=-\ln{x}\cdot\ln{(1-x)}+\int_{0}^{1}{\frac{-\ln(1-t)}{t}dt}\\
&=-\ln{x}\cdot\ln{(1-x)}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}\\
&=\frac{\pi^2}{6}-\ln{x}\cdot\ln(1-x)
\end{align*}
(4)
记\[ A=\text{Li}_{2}(-x)-\text{Li}_{2}(1-x)+\frac{1}{2}\text{Li}_{2}(1-x^2)\]
\begin{align*}
A+\text{Li}_{2}(x)+\text{Li}_{2}(1-x)&=\frac{1}{2}\left(\text{Li}_{2}(x^2)+\text{Li}_{2}(1-x^2)\right)\\ 
&=\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{6}\pi^2-\ln{x^2}\cdot\ln(1-x^2)\right)\\
&=\frac{1}{12}\pi^2-\ln{x}\cdot\ln(1-x^2)
\end{align*}
马上得到
\[ A=-\frac{1}{12}\pi^2-\ln{x}\cdot\ln(1+x) \]

——————————————————————————————————————————————————————

相关的特殊值\begin{align*}
\text{Li}_{2}(0)&=0\\
\text{Li}_{2}(1)&=\frac{1}{6}\pi^2\\
\text{Li}_{2}(-1)&=-\frac{1}{12}\pi^2\\
\text{Li}_{2}\left(\frac{1}{2}\right)&=\frac{1}{12}\pi^2-\frac{1}{2}\ln^2{2}\\
\text{Li}_{2}(-\phi)&=-\frac{1}{10}\pi^2-\ln^2{\phi}\\
\text{Li}_{2}\left(-\frac{1}{\phi}\right)&=-\frac{1}{15}\pi^2+\frac{1}{2}\ln^2{\phi}\\
\text{Li}_{2}\left(-\frac{1}{\phi^{2}}\right)&=\frac{1}{15}\pi^2-\ln^2{\phi}\\
\text{Li}_{2}\left(\frac{1}{\phi}\right)&=\frac{1}{10}\pi^2-\ln^2{\phi}\\
\end{align*}
这里$\displaystyle \phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$是Golden ratio。

_______________________________________________________________________________________________________________

附上搜集到的一本好书《Polylogarithms and Associated Functions》 by Lewin

http://pan.baidu.com/share/link?shareid=2376620720&uk=3456571357
 


登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter