问题：
设$a,b,c>0$，$a^2+b^2+c^2=3$证明
$$\frac{(b+c)^2}{a^a+1}+\frac{(c+a)^2}{b^b+1}+\frac{(a+b)^2}{c^c+1}\leq 6$$
证明:
注意到
$$x^x\geq \frac{x^2+1}{2}$$
所以
$$\sum{\frac{(b+c)^2}{a^a+1}}\leq \frac{2(b+c)^2}{a^2+3}=\sum{\frac{2(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}}$$
再由Cauchy-Schwarz
$$\sum{\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}}\leq \sum{\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)}=3$$
Done!