问题：
设$a,b,c>0$，$a^2+b^2+c^2=3$证明
\[ \frac{(b+c)^2}{a^a+1}+\frac{(c+a)^2}{b^b+1}+\frac{(a+b)^2}{c^c+1}\leq 6 \]
证明:
注意到
\[ x^x\geq \frac{x^2+1}{2} \]
所以
\[ \sum{\frac{(b+c)^2}{a^a+1}}\leq \frac{2(b+c)^2}{a^2+3}=\sum{\frac{2(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}}\]
再由Cauchy-Schwarz
\[ \sum{\frac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}}\leq \sum{\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)}=3 \]
Done!