问题：
正实数$a,b,c,d$满足$abcd=4,a^2+b^2+c^2+d^2=10$,求$ab+bc+cd+da$的最大值

解：我们可以证明$ (a+c)(b+d)\leq \sqrt{82} $

设$$f=(a+c)(b+d)$$
\begin{align*}
f^2&=(a+c)^2(b+d)^2\\
&=(a^2+c^2)(b^2+d^2)+2(ab+cd)(bc+ad)+16\\
&\leq \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+\frac{1}{2}(ab+bc+cd+da)+16\\
&=41+\frac{1}{2}f^2\\
\end{align*}
\[ f^{2}\leq 82 \]
\[ \Rightarrow f=(a+c)(b+d)\leq \sqrt{82} \]

等号成立当

\[ a=\sqrt{\frac{5}{2}},b=\sqrt{\frac{5}{2}-\frac{3\sqrt{41}}{10}},c=\sqrt{\frac{5}{2}},d=\sqrt{\frac{5}{2}+\frac{3\sqrt{41}}{10}}\]