一个关于矩阵秩的不等式
陈洪葛
posted @ 11 年前
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设n阶矩阵A,B可交换,证明:r(A+B)≤r(A)+r(B)−r(AB)
证明:先证一个引理:
设A,B是数域K上两个n×n矩阵且AB=BA.又设
C=[AB]
则有
r(A)+r(B)≥r(C)+r(AB)
证明:考察奇次线性方程组AX=0和BX=0,它们的全部公共解向量恰好为CX=0的解向量。故设CX=0的一个基础解系是
ε1,ε2,⋯εr
这里r=n−r(C),我们知道,它可以分别扩充到AX=0的一个基础解系
ε1,ε2,⋯εr,η1,η2⋯,ηs
和BX=0的一个基础解系
ε1,ε2,⋯εr,ω1,ω2⋯,ωt
这里r+s=n−r(A),r+t=n−r(B).而线性组合
a1η1+⋯+asηs
是AX=0的解向量,但当它非零时它不是BX=0的解向量,否则它就是两者的公共解向量,即有CX=0,从而可以被CX=0的解系线性表示
a1η1+⋯+asηs=k1ε1+⋯krεr
此时由于ε1,ε2,⋯εr,η1,η2⋯,ηs线性无关,所以得到a1=a2=⋯as=k1=⋯kr=0,这与a1η1+⋯+asηs非零矛盾,由此可见
ε1,ε2,⋯εr,η1,η2⋯,ηs,ω1,ω2⋯,ωt
线性无关。
现在,上面都是ABX=BAX=0的解向量,它们又线性无关,故r+s+t≤n−r(AB)即
(r+s)+(r+t)−r=n−r(A)+n−r(B)−(n−r(C))≤n−r(AB)
⇔r(C)+r(AB)≤r(A)+r(B)
引理证明完毕!
最后回到原题,只要注意到
A+B=[En,En][AB]
则
r(A+B)≤r(C)
故马上有
r(A+B)≤r(A)+r(B)−r(AB)
Done!