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一个关于矩阵秩的不等式

陈洪葛 posted @ 11 年前 in 高等代数 , 1673 阅读
n阶矩阵A,B可交换,证明:r(A+B)r(A)+r(B)r(AB)
证明:先证一个引理:
A,B是数域K上两个n×n矩阵且AB=BA.又设

C=[AB]

则有

r(A)+r(B)r(C)+r(AB)
证明:考察奇次线性方程组AX=0BX=0,它们的全部公共解向量恰好为CX=0的解向量。故设CX=0的一个基础解系是
ε1,ε2,εr
这里r=nr(C),我们知道,它可以分别扩充到AX=0的一个基础解系
ε1,ε2,εr,η1,η2,ηs
BX=0的一个基础解系
ε1,ε2,εr,ω1,ω2,ωt
这里r+s=nr(A),r+t=nr(B).而线性组合
a1η1++asηs
AX=0的解向量,但当它非零时它不是BX=0的解向量,否则它就是两者的公共解向量,即有CX=0,从而可以被CX=0的解系线性表示
a1η1++asηs=k1ε1+krεr
此时由于ε1,ε2,εr,η1,η2,ηs线性无关,所以得到a1=a2=as=k1=kr=0,这与a1η1++asηs非零矛盾,由此可见
ε1,ε2,εr,η1,η2,ηs,ω1,ω2,ωt
线性无关。
现在,上面都是ABX=BAX=0的解向量,它们又线性无关,故r+s+tnr(AB)
(r+s)+(r+t)r=nr(A)+nr(B)(nr(C))nr(AB)
r(C)+r(AB)r(A)+r(B)
引理证明完毕!
 
最后回到原题,只要注意到

A+B=[En,En][AB]

r(A+B)r(C)
故马上有
r(A+B)r(A)+r(B)r(AB)
Done!

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