贴吧的一个不等式

陈洪葛 posted @ Feb 17, 2014 03:05:23 PM in 不等式 , 878 阅读

Let $a,b,c>0$,with $a+b+c=3$,Prove that
\[ \frac{1}{(a+b)(4-ab)}+\frac{1}{(b+c)(4-bc)}+\frac{1}{(c+a)(4-ca)}\geq \frac{1}{2} \]
证明:由Cauchy-Schwarz
$$ \sum_{cyc}\frac{1}{(a+b)(4-ab)}=\sum_{cyc}\frac{(3c+2a+2b)^2}{(3c+2a+2b)^2(a+b)(4-ab)}\geq\frac{49(a+b+c)^2}{\sum\limits_{cyc}(3c+2a+2b)^2(a+b)(4-ab)} $$
所以,只要证明
$$ 98(a+b+c)^5\geq3\sum\limits_{cyc}(3c+2a+2b)^2(a+b)(4(a+b+c)^2-9ab) $$
就是
\[ 2\sum{a^5}+10\sum{a^4(b+c)}+20\sum{a^3(b^2+c^2)}\geq 30abc\sum{ab}+32abc\sum{a^2}\]
由Murihead 显然。


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