常微分中一个有用的小结论

陈洪葛 posted @ Mar 27, 2014 11:51:32 AM in 常微分方程 , 741 阅读

设微分方程
\[ \frac{dy}{dx}=f(y) \tag{1}\]
其中$f(y)$在$y=a$的某领域(例如,区间$|y-a|<\varepsilon$)内连续,而且$f(y)=0\Leftrightarrow y=a$,则在直线$y=a$上的每一点,方程$(1)$的解局部唯一,当且仅当瑕积分
\[ \left|\int_{a}^{a\pm\varepsilon}\frac{dy}{f(y)}\right|=\infty\qquad (\text{发散}) \]

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证明:必要性
首先我们看到经过域$R_{1}:-\infty<x<+\infty,a-\varepsilon\leq y<a$和域$R_{2}:-\infty<x<+\infty,a<y\leq a+\varepsilon$ 内任一点$(x_{0},y_{0})$恰有方程(1)的一条积分曲线,它由下式确定
\[ \int_{y_{0}}^{y}\frac{dy}{f(y)}=x-x_{0} \tag{2} \]
这些积分曲线彼此不相交。其次,域$R_{1}(R_{2})$内的所有积分曲线
\[ \int \frac{dy}{f(y)}=x+c \]
都可由其中一条,比如
\[ \int \frac{dy}{f(y)}=x+c_{0} \]
沿着$x$轴的方向平移而得到。因此只需要详细研究经过$R_{1}$内某一点$(x_{0},a-\varepsilon)$的积分曲线,它由(2)确定。若$\displaystyle \left|\int_{a-\varepsilon}^{a}\frac{dy}{f(y)}\right|$收敛,即存在$x=x_{1}$,使得$\displaystyle \left|\int_{a-\varepsilon}^{a}\frac{dy}{f(y)}\right|=x_{1}-x_{0}$,即所讨论的积分曲线当$x=x_{1}$时达到直线$y=a$上点$(x_{1},a)$,由$(2)$可以看到所讨论积分曲线在$(x_{1},a)$处与$y=a$相切,在这种情形下,经过直线上一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾,所以$\displaystyle\left|\int_{a-\varepsilon}^{a}\frac{dy}{f(y)}\right|=\infty$


充分性:若积分$\displaystyle\left|\int_{a-\varepsilon}^{a}\frac{dy}{f(y)}\right|=\infty$,此时由(2)可以看出,所有经过点$(x_{0},a-\varepsilon)$的积分曲线,不可能达到直线$y=a$上,而以直线$y=a$为渐进线,又注意到$y=a$也是(1)的积分曲线,所以(1)过$(x_{0},a-\varepsilon)$的解是唯一的。同理可以说明$R_{2}$在点$(x_{0},a+\varepsilon)$的情况。


 


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