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常微分中一个有用的小结论

陈洪葛 posted @ 11 年前 in 常微分方程 , 1201 阅读

设微分方程
dydx=f(y)
其中f(y)y=a的某领域(例如,区间|ya|<ε)内连续,而且f(y)=0y=a,则在直线y=a上的每一点,方程(1)的解局部唯一,当且仅当瑕积分
|a±εadyf(y)|=(发散)

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证明:必要性
首先我们看到经过域R1:<x<+,aεy<a和域R2:<x<+,a<ya+ε 内任一点(x0,y0)恰有方程(1)的一条积分曲线,它由下式确定
yy0dyf(y)=xx0
这些积分曲线彼此不相交。其次,域R1(R2)内的所有积分曲线
dyf(y)=x+c
都可由其中一条,比如
dyf(y)=x+c0
沿着x轴的方向平移而得到。因此只需要详细研究经过R1内某一点(x0,aε)的积分曲线,它由(2)确定。若|aaεdyf(y)|收敛,即存在x=x1,使得|aaεdyf(y)|=x1x0,即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点(x1,a),由(2)可以看到所讨论积分曲线在(x1,a)处与y=a相切,在这种情形下,经过直线上一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾,所以|aaεdyf(y)|=


充分性:若积分|aaεdyf(y)|=,此时由(2)可以看出,所有经过点(x0,aε)的积分曲线,不可能达到直线y=a上,而以直线y=a为渐进线,又注意到y=a也是(1)的积分曲线,所以(1)过(x0,aε)的解是唯一的。同理可以说明R2在点(x0,a+ε)的情况。


 


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