常微分中一个有用的小结论
陈洪葛
posted @ 11 年前
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设微分方程
dydx=f(y)
其中f(y)在y=a的某领域(例如,区间|y−a|<ε)内连续,而且f(y)=0⇔y=a,则在直线y=a上的每一点,方程(1)的解局部唯一,当且仅当瑕积分
|∫a±εadyf(y)|=∞(发散)
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证明:必要性
首先我们看到经过域R1:−∞<x<+∞,a−ε≤y<a和域R2:−∞<x<+∞,a<y≤a+ε 内任一点(x0,y0)恰有方程(1)的一条积分曲线,它由下式确定
∫yy0dyf(y)=x−x0
这些积分曲线彼此不相交。其次,域R1(R2)内的所有积分曲线
∫dyf(y)=x+c
都可由其中一条,比如
∫dyf(y)=x+c0
沿着x轴的方向平移而得到。因此只需要详细研究经过R1内某一点(x0,a−ε)的积分曲线,它由(2)确定。若|∫aa−εdyf(y)|收敛,即存在x=x1,使得|∫aa−εdyf(y)|=x1−x0,即所讨论的积分曲线当x=x1时达到直线y=a上点(x1,a),由(2)可以看到所讨论积分曲线在(x1,a)处与y=a相切,在这种情形下,经过直线上一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾,所以|∫aa−εdyf(y)|=∞
充分性:若积分|∫aa−εdyf(y)|=∞,此时由(2)可以看出,所有经过点(x0,a−ε)的积分曲线,不可能达到直线y=a上,而以直线y=a为渐进线,又注意到y=a也是(1)的积分曲线,所以(1)过(x0,a−ε)的解是唯一的。同理可以说明R2在点(x0,a+ε)的情况。