中值定理的推广题

陈洪葛 posted @ May 21, 2014 07:09:55 AM in 数学分析 , 694 阅读

设$f,g$在$[a,b]$上可导,且$f,g$在$a$处二阶可导,满足$g(a)\neq g(b)$且满足
\[ \left[f'(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(a)\right]\cdot\left[f''(a)- \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g''(a)\right]>0 \]

(西西提供)
证明:存在$\eta\in(a,b)$使得
\[ f'(\eta)-\frac{f(\eta)-f(a)}{\eta-a}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot\left[g'(\eta)-\frac{g(\eta)-g(a)}{\eta-a} \right] \]

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证明:设
\[ K=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
\[ F(x)=f(x)-f(a)-K(g(x)-g(a)) \]
我们有
\[ F(a)=F(b)=0 \]
\[ F'(a)\cdot F''(a)>0 \]
于是
\[ F(x)=F(a)+F'(a)(x-a)+\frac{1}{2}F''(a)(x-a)^2+o((x-a)^2)\qquad (x\to a^{+}) \]
定义
\[ H(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
\dfrac{F(x)}{x-a}, & \hbox{$x\in(a,b]$;} \\
F'(a), & \hbox{$x=a$.}
\end{array}\right.\]
$H(x)$是$[a,b]$上的可导函数,又有
\[ H(b)=0 \]
\[ H'(x)=F'(x)\cdot \frac{1}{x-a}-\frac{F(x)}{(x-a)^2}=\frac{F'(x)-F'(a)}{x-a}-\frac{1}{2}F''(a)+o(1)  \]
所以就有
\[ \lim_{x\to a^{+}}H'(x)=\frac{1}{2}F''(a) \]
若不存在这样的$\eta$,就是对任意的$x\in(a,b)$有$H'(x)\neq 0 $,不妨设$H'(x)>0.(\forall x\in(a,b))$,则$H(x)$在$[a,b]$上严格递增,又由$H(b)=0$知必有$H(a)=F'(a)<0$,推得$F''(a)<0$,这时就有
\[ \lim_{x\to a^{+}}H'(x)=\frac{1}{2}F''(a)<0 \]
也就是说存在$\delta>0$,对任意的$x\in(a,a+\delta)$有
\[ H'(x)<0 \]
这与假设矛盾。所以必然存在一点$\eta\in(a,b)$使得$H'(\eta)=0$,这时,不难算得
\[ H'(\eta)=\frac{1}{\eta-a}\left[ f'(\eta)-\frac{f(\eta)-f(a)}{\eta-a}-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot\left[g'(\eta)-\frac{g(\eta)-g(a)}{\eta-a} \right]\right]=0 \]

\[ f'(\eta)-\frac{f(\eta)-f(a)}{\eta-a}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot\left[g'(\eta)-\frac{g(\eta)-g(a)}{\eta-a} \right] \]
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最近有点忙,可能暂时不会更新博客了。 这几天得回去去一趟学校,办各种杂事各种忙。希望能早点回来学习。大家有问题可以发到我邮箱:pxchg1200@sina.com。


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