计算
\[ \arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)\]
的Fourier series.

解:
考虑$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$,则
\[ \frac{1}{1+z}=\frac{1+\overline{z}}{(1+z)(1+\overline{z})}=\frac{1}{1+r\cos{\theta}+ir\sin{\theta}}=\frac{1+r\cos{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2}-i\cdot\frac{r\sin{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2}\]
于是，记
\[ a=\frac{1+r\cos{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2},b=-\frac{r\sin{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2}\]
我们得到
\[ \frac{1}{1+z}=a+ib \]
那么它的辐角
\[ \varphi=\arctan\frac{b}{a}=-\arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)\]
\[ a+ib=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+i\cdot\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}e^{i\varphi}\]
又注意到
\[ \sqrt{a^2+b^2}=|a+bi|=\frac{1}{|1+z|}=\frac{1}{\sqrt{(1+z)(1+\overline{z})}}\]
所以
\[ \frac{1}{1+z}=\frac{1}{\sqrt{(1+z)(1+\overline{z})}}e^{i\varphi} \]
就是
\[ -i\varphi=i\arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)=\frac{1}{2}\left(\ln(1+z)-\ln(1+\overline{z})\right)\]
这时，利用
\[ \ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^{n}\]
及$z=r\cos\theta+ir\sin{\theta}$,得到
\[ \ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(r^{n}\cos n\theta+ir^{n}\sin n\theta)\]
\[ \ln(1+\overline{z})=\overline{\ln(1+z)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(r^{n}\cos n\theta-ir^{n}\sin n\theta)\]
于是，自然就得到
\[ \arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}r^{n}\sin{n\theta} \]
这个不是别的，就是它的Fourier Series.
另外，若令$r=-1$,则
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\theta}}{n}=\arctan\left(\frac{\sin{\theta}}{1-\cos\theta}\right)=\frac{\pi-\theta}{2}\]