计算
$$\arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)$$
的Fourier series.

解:
考虑$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$,则
$$\frac{1}{1+z}=\frac{1+\overline{z}}{(1+z)(1+\overline{z})}=\frac{1}{1+r\cos{\theta}+ir\sin{\theta}}=\frac{1+r\cos{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2}-i\cdot\frac{r\sin{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2}$$
于是，记
$$a=\frac{1+r\cos{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2},b=-\frac{r\sin{\theta}}{1+2r\cos{\theta}+r^2}$$
我们得到
$$\frac{1}{1+z}=a+ib$$
那么它的辐角
$$\varphi=\arctan\frac{b}{a}=-\arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)$$
$$a+ib=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+i\cdot\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\sqrt{a^2+b^2}e^{i\varphi}$$
又注意到
$$\sqrt{a^2+b^2}=|a+bi|=\frac{1}{|1+z|}=\frac{1}{\sqrt{(1+z)(1+\overline{z})}}$$
所以
$$\frac{1}{1+z}=\frac{1}{\sqrt{(1+z)(1+\overline{z})}}e^{i\varphi}$$
就是
$$-i\varphi=i\arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)=\frac{1}{2}\left(\ln(1+z)-\ln(1+\overline{z})\right)$$
这时，利用
$$\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^{n}$$
及$z=r\cos\theta+ir\sin{\theta}$,得到
$$\ln(1+z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(r^{n}\cos n\theta+ir^{n}\sin n\theta)$$
$$\ln(1+\overline{z})=\overline{\ln(1+z)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}(r^{n}\cos n\theta-ir^{n}\sin n\theta)$$
于是，自然就得到
$$\arctan\left(\frac{r\sin{\theta}}{1+r\cos{\theta}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}r^{n}\sin{n\theta}$$
这个不是别的，就是它的Fourier Series.
另外，若令$r=-1$,则
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin{n\theta}}{n}=\arctan\left(\frac{\sin{\theta}}{1-\cos\theta}\right)=\frac{\pi-\theta}{2}$$