早上起来看见kuing粉丝群里的天书同学发了一个有意思的不等式，经过一番思考后弄了出来。
Problem:
Let $a,b,c$ be postive numbers,with $abc=1$,show that
\[ \frac{a}{a^2+3}+\frac{b}{b^2+3}+\frac{c}{c^2+3}\leq \frac{3}{4} \]
证明
先用$ a=\frac{y}{x},b=\frac{z}{y},c=\frac{x}{z} $替换，得到
\[ \frac{xy}{3x^2+y^2}+\frac{yz}{3y^2+z^2}+\frac{xz}{3z^2+x^2}\leq \frac{3}{4} \]
即
\[ \frac{2x^2+(x-y)^2}{3x^2+y^2}+\frac{2y^2+(y-z)^2}{3y^2+z^2}+\frac{2z^2+(z-x)^2}{3z^2+x^2}\geq \frac{3}{2} \]
于是，自然的运用Cauchy-Schwarz，得到
\[ \sum{\frac{2x^2+(x-y)^2}{3x^2+y^2}}\geq \frac{\left(\sum{\sqrt{2x^2+(x-y)^2 }}\right)^{2}}{4\sum{x^2}}\]
故只要证明
\[ \frac{\left(\sum{\sqrt{2x^2+(x-y)^2 }}\right)^{2}}{4\sum{x^2}}\geq \frac{3}{2}\]
经过一番化简，得到
\[ \sum{\sqrt{[2x^2+(x-y)^2][2y^2+(z-y)^2]}}\geq \sum{x^2}+\sum{xy} \]
显然，再次运用Cauchy-Schwarz马上得到答案
\[ \sqrt{[2x^2+(x-y)^2][2y^2+(z-y)^2]}\geq 2xy+(y-x)(y-z) \]
只要把上面类似的3个式子相加就好。
由此，不等式得证。