设$\{a_{n}\}$是正序列，且$ \displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=1 $,证明
\[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}}}=1 \]
证明 注意到
\[ 1=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}\leq \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}}} \]
所以只要估计
\[ \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} \]
的一个上界即可。
而由 $ \displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=1 $
知，对任意给定的$\varepsilon>0$,存在$N>0$，当$n>N$时
\[ a_{n}\leq (1+\varepsilon)^{n} \]
设\[ A=\sum_{k=1}^{N}{a_{k}} \]
则
\[ \sum_{k=1}^{n}{a_{k}}<A+\frac{(1+\varepsilon)^{n-N+1}}{\varepsilon} \]
而当$n$充分大时$ \frac{(1+\varepsilon)^{n-N+1}}{\varepsilon}>A $
所以
\[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{ \frac{(1+\varepsilon)^{n-N+1}}{\varepsilon} }}=1 \]
因此
 \[ \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}}}=1 \]