设$\{a_{n}\}$是正序列，且$\displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=1$,证明
$$\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}}}=1$$
证明 注意到
$$1=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}\leq \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}}}$$
所以只要估计
$$\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}$$
的一个上界即可。
而由 $\displaystyle \varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{n}}}=1$
知，对任意给定的$\varepsilon>0$,存在$N>0$，当$n>N$时
$$a_{n}\leq (1+\varepsilon)^{n}$$
设 $$A=\sum_{k=1}^{N}{a_{k}}$$
则
$$\sum_{k=1}^{n}{a_{k}}<A+\frac{(1+\varepsilon)^{n-N+1}}{\varepsilon}$$
而当$n$充分大时$\frac{(1+\varepsilon)^{n-N+1}}{\varepsilon}>A$
所以
$$\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{ \frac{(1+\varepsilon)^{n-N+1}}{\varepsilon} }}=1$$
因此
  $$\varlimsup_{n\rightarrow\infty}{\sqrt[n]{a_{1}+a_{1}+\cdots+a_{n}}}=1$$