来着周民强书上的一个题(积分部分)

陈洪葛 posted @ Mar 07, 2013 08:21:41 PM in 数学分析 , 970 阅读

设$f\in C^{2}[a,\infty)$,若积分
\[ \int_{a}^{+\infty}{f^{2}(x)dx},\qquad \int_{a}^{+\infty}{[f''(x)]^{2}dx} \]
均收敛,则$\displaystyle \int_{a}^{+\infty}{[f'(x)]^{2}dx}$收敛。


证明:由Cauchy-Schwarz不等式知道
\[ \left(\int_{a}^{+\infty}|f(x)f''(x)|dx\right)^{2}\leq \left(\int_{a}^{+\infty}f^{2}(x)dx\right)\left(\int_{0}^{+\infty}(f''(x))^2dx\right)\]
于是反常积分$\displaystyle \int_{a}^{+\infty}f(x)f''(x)dx$收敛。又注意到
\begin{align*}
 \int_{a}^{x}(f'(t))^2dt&=f'(t)f(t)\bigg|_{a}^{x}-\int_{a}^{x}f(t)f''(t)dt\\
 &= f'(x)f(x)-f'(a)f(a)-\int_{a}^{x}f(t)f''(t)dt \tag{1}
\end{align*}
下证明
\[ -\infty<\varliminf_{x\to+\infty}f'(x)f(x)<+\infty \]
反证,若$\displaystyle\varliminf_{x\to+\infty}f'(x)f(x)=-\infty$,则存在数列$\{x_{n}\}$满足$x_{n}\to+\infty$,但$f'(x_{n})f(x_{n})\to-\infty$,这样,
\[ \int_{a}^{x_{n}}(f'(t))^2dt=f'(x_{n})f(x_{n})-f'(a)f(a)-\int_{a}^{x_{n}}f(t)f''(t)dt\to -\infty \qquad (n\to\infty)\]
显然不科学。
若$\displaystyle\varliminf_{x\to+\infty}f'(x)f(x)=+\infty$,则对$\forall L>0$,存在$M>0$,当$x\geq M$时$f'(x)f(x)>L$,这时有
\[ f^{2}(x)-f^{2}(M)=2f'(\theta)f(\theta)(x-M)>2L(x-M)\qquad (\theta\in(M,x))\]

\[ f^{2}(x)>f^{2}(M)+2L(x-M) \]
\[ \Rightarrow \int_{M}^{+\infty}f^2(x)dx>\int_{M}^{+\infty}(f^2(M)+2L(x-M))dx=+\infty \]
矛盾。故
\[ -\infty<\varliminf_{x\to+\infty}f'(x)f(x)<+\infty \]
不妨设
\[ A=\varliminf_{x\to+\infty}f'(x)f(x)\]
则存在数列$\{x_{n}\}$满足$x_{n}\to+\infty$,$f'(x_{n})f(x_{n})\to A$,这时
\[ \int_{a}^{x_{n}}(f'(t))^2dt=f'(x_{n})f(x_{n})-f'(a)f(a)-\int_{a}^{x_{n}}f(t)f''(t)dt\]
令$n\to\infty$,则
\[ \int_{a}^{+\infty}(f'(t))^2dt=A-f'(a)f(a)-\int_{a}^{+\infty}f(x)f''(x)dx \]
是收敛的。
真神指出:在讨论$f'(x)f(x)$位于无穷远的情况时,可以考察$f^{2}(x)$的极值情况,若$f^2(x)$在无穷远处恒有极值,则运用Farmat定理知道存在数列$\{x_{n}\}$满足$x_{n}\to+\infty$,$f^{2}(x_{n})$取极值,则$f'(x_{n})f(x_{n})=0$,若$f^{2}(x)$仅在有限区间内有极值,则说明$f^2(x)$在无穷远处单调递减趋于$0$,因此,考虑
\[ f^{2}(n+1)-f^2(n)=2f'(x_{n})f(x_{n})\to 0\qquad (n\to\infty) \]
依然可以找到这样的序列满足$f'(x_{n})f(x_{n})\to 0$.

 


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