\[ f(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-x}}{|\sin x|^{a}}dx \]
可以看到，当$a\leq 0$时是一致收敛的，$a\geq 1$时是发散的，下证明在$(0,1)$内闭一致收敛。
将积分区域分割使无穷积分变成个级数，再做变量替换，得到
\begin{align}
f(a)&=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{e^{-x}}{|\sin x|^a}dx\qquad (x=k\pi+t) \\
&=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-k\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{e^{-t}}{\sin^{a}{t}}dt=\frac{1}{1-e^{-\pi}}\int_{0}^{\pi}\frac{e^{-t}}{\sin^{a}{t}}dt  \end{align}
注意到不等式(对$0<t\leq 1,0<\varepsilon<\frac{1}{2},\varepsilon\leq a\leq 1-\varepsilon$)
\[ \frac{e^{-t}}{\sin^{a}{t}}\leq \left(\frac{\pi}{2t}\right)^{a}\leq \left(\frac{\pi}{2}\right)^{1-\varepsilon}\cdot\frac{1}{t^{1-\varepsilon}}\]
所以，根据Weierstrass判别法，可知积分
\[ \int_{0}^{1}\frac{e^{-t}}{\sin^{a}{t}}dt \]
关于$a\in[\varepsilon,1-\varepsilon]$一致收敛，同理，积分
\[  \int_{1}^{\pi}\frac{e^{-t}}{\sin^{a}{t}}dt \]
也在$[\varepsilon,1-\varepsilon]$一致收敛。

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计算
\[ I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln(\alpha^2+x^2)}{\beta^2+x^2}dx \]
首先讨论$\beta\neq 0$的情况，记$f(x,\alpha)=\frac{\ln(\alpha^2+x^2)}{\beta^2+x^2}$,则
\[ f'_{\alpha}(x,\alpha)=\frac{2\alpha}{(\alpha^2+x^2)(\beta^2+x^2)} \]
我们看到$f$与$f'_{\alpha}$在$(0,+\infty)\times(-\infty,+\infty)$上连续。注意到
\[ \frac{|\ln(\alpha^2+x^2)|}{\beta^2+x^2}\leq \frac{\phi(x)}{\beta^2+x^2}\qquad (\phi(x)=|\ln(A^2+x^2)| \]
可知积分$I(\alpha)$在任一区间$[-A,A]$上一致收敛，另外
\[ \frac{2\alpha}{(\alpha^2+x^2)(\beta^2+x^2)}\leq \frac{2A}{(\varepsilon^2+x^2)(\beta^2+x^2)} \]
知积分
\[ I'(\alpha)=\int_{0}^{+\infty}\frac{2\alpha dx}{(\alpha^2+x^2)(\beta^2+x^2)} \]
在$0<\varepsilon\leq |\alpha|\leq A$上一致收敛。从而
\[ I'(\alpha)=\frac{\pi\alpha}{|\alpha\beta|(|\alpha|+|\beta|)}\qquad (\alpha\beta\neq 0) \]
\[ I(\alpha)=\frac{\pi\ln(|\alpha|+|\beta|)}{|\beta|}+C \]
而
\begin{align}
I(0)&=2\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln{x}}{\beta^2+x^2}dx=\frac{2}{|\beta|}\int_{0}^{+\infty}+\frac{2}{|\beta|}\int_{0}^{\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt\\
&=\pi\frac{\ln|\beta|}{|\beta|}
\end{align}
这说明$C=0$
\[ I(\alpha)=\frac{\pi\ln(|\alpha|+|\beta|)}{|\beta|} \]
若$\beta=0$,则积分$I(\alpha)$只在$|\alpha|=1$时收敛，此时，有
\[ I(\alpha)=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln(1+x^2)}{x^2}dx=\pi \]