计算
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Gamma^2(k)}{k\Gamma(2k)} \]
我们看到级数就是
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{[(k-1)!]^2}{k\cdot (2k)!} \]
我们从一个显然的公式说起
\[ \frac{1}{1+x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k x^{2k} \]
两边对$x$积分，得到
\[ \arctan x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \]
注意到有
\[ \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)=\arcsin{x} \]
我们用$ \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)$替换$x$得到
\[ \arcsin{x}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^{2n+1}\]
\begin{align*}
\frac{x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{(2n-1)(1-x^2)^n}\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}\sum_{j=0}^{\infty}C_{n+j-1}^{j}x^{2(j+n)}\\
&=\sum_{m=1}^{\infty}x^{2m}\sum_{k=1}^{m}\frac{(-1)^{k-1}(m-1)!}{(k-1)!(m-k)!(2k-1)} 
\end{align*}
这里用到了
\[ \frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}x^{m} \]
注意到恒等式
\[ m\cdot \text{C}_{2m}^{m}\sum_{j=0}^{m-1}\frac{(-1)^{j}(m-1)!}{j!(m-j-1)!(2j+1)}=2^{2m-1} \]
我们得到
\[ \frac{2x\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n\cdot \text{C}_{2n}^{n}} \]
两边除$x$后积分，得到
\[ (\arcsin{x})^2=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x)^{2n}}{n^2 \text{C}_{2n}^{n}} \]
\[ 4(\arcsin{x})^2=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{[(n-1)!]^2}{n\cdot (2n-1)!}\cdot (2x)^{2n} \]
令$x=\frac{1}{2}$
得到级数
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\Gamma^2(k)}{k\Gamma(2k)}=\frac{\pi^2}{9} \]