问题：设$f(x)$在$[0,2]$上连续，在$(0,2)$内三阶可导，且$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}=2,f(1)=1,f(2)=6$,证明:存在$\xi\in(0,2)$使得$f'''(\xi)=9$.

（西西提供）

看到这个问题，我的办法是：
由\[ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}=2\]
得到
\[ f(x)=2x+o(x)\qquad (x\to 0^{+}) \]
\[ \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=0=f(0)\qquad \text{$f$在$x=0$的连续} \]
\[ f_{+}(0)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)-f(0)}{x}=2 \]
\[ f(1)=1\qquad f(2)=6 \]
于是想到构造一个三次多项式
\[ g(x)=ax^3+bx^2+cx+d \]
满足
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
g(0)=0 &  \\
g'(0)=2 &  \\
g(1)=1 & \\
g(2)=6 &
\end{array}
\right.\]
解出$a,b,c,d$ 得到
\[ g(x)=\frac{3}{2}x^3-\frac{5}{2}x^2+2x\]
于是，自然的构造
\[ h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-\left(\frac{3}{2}x^3-\frac{5}{2}x^2+2x\right) \]
有
\[ h'_{+}(0)=0\qquad h(0)=0\qquad h(1)=0\qquad h(2)=0 \]
由Rolle定理得到存在$x_{1}\in(0,1),\qquad x_{2}\in(1,2)$
\[ h'(x_1)=h'(x_2)=0 \]
于是$h'(x)$在$[0,x_{2}]$上有三个零点，自以为满足Rolle定理的条件，再次由Rolle定理得到
\[ h'''(\xi)=0\Rightarrow f'''(\xi)=9\qquad \xi\in(0,2) \]
         但是，上面的证明表面上看起来比较合理，事实上是错误的，原因就是$h'(x)$在$x=0$处不一定右连续的。Rolle定理要求在闭区间上连续，就是闭区间端点处分别左右连续，开区间内可导，而对于导函数而言，求导会使得函数的性质变差，因此，尽管在$x=0$处存在导数（右导数），但导函数在$x=0$处的极限（右极限）可能不存在，一个著名的例子就是$f(x)=x^{m}\sin\frac{1}{x}$,这个函数在$m$取不同值的时候在$x=0$处的导函数性质是不同的，比如取$m=2$,虽然在$x=0$处有导数，但导函数在那里不连续。说了这么多，就是说原证明是不能使用Rolle定理的，所以是错的。

    幸运的是，伟大的西西给了一个严格精巧漂亮的证明：

证明：考虑反证，假设结论不对，由达布定理（导函数介值定理）知在$(0,2)$中，只能有$f'''(x)>9$或者$f'''(x)<9$这二者之一。我们假设是前一种情况，后一种同理可得。构造
\[ h(x)=f(x)-\left(\frac{3}{2}x^3+2x\right)\]
于是，仍然有
\[ h(0)=0\qquad h'_{+}(0)=f'_{+}(0)-2=0\qquad h'''(x)>0\quad (x\in(0,2)) \]
因此$h''(x)$在$(0,2)$上是严格递增的，由$f(1)=1,f(2)=6$可以计算出$h(1)$和$h(2)$的关系
\[ h(2)=4h(1) \]
再次构造辅助函数
\[ g(x)=h(2x)-4h(x) \]
\[ g(0)=0\qquad g'_{+}(0)=0\qquad g(1)=0 \]
而
\[ g''(x)=4(h''(2x)-h(x))>0\]
由于上面说的$h''(x)$在$(0,2)$上是严格递增的。这表明$g'(x)$在$(0,1)$上是严格递增的。故$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}g'(x)=A$存在（要么为有限值，要么为非正常极限）。由$ \displaystyle g'_{+}(0)=0$，说明$\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}g'(x)=0$,就是$g'(x)$在$x=0$右连续。因此，在$(0,1)$内，由$g'(x)$的严格递增，有$\displaystyle g'(x)>\lim_{x\to 0^{+}}g'(x)=0$.而$g(0)=g(1)=0$, 由Rolle定理知存在$\xi\in(0,1)$使得
\[ g'(\xi)=0 \]
这显然得出矛盾，所以命题得证。                                                           $\square$
我们看到，上面的辅助函数构造得真心犀利。通过计算给定函数值之间的关系构造出合适的辅助函数，这一思想值得我们深思领悟。另外，在使用定理的时候应该仔细验证是否满足定理的条件，不能乱套定理。