设$f(x)$在$R$上有连续的一阶导数，且
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\left(f^{2}(x)+(f'(x))^{2}\right)dx=1 \]
证明 $\forall x\in \mathbf{R}$，有$|f(x)|<\frac{\sqrt{2}}{2}$.

（西西提供）

证明
由条件可以得到
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}f^{2}(x)dx\leq 1,\qquad \int_{-\infty}^{+\infty}(f''(x))^{2}dx\leq 1\]
故知道这两个无穷积分收敛，由Cauchy-Schwarz不等式，知道
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)f'(x)|dx\leq 1 \]
上面的无穷积分也是收敛的，接着，我们证明
\[\lim_{x\to+\infty}f^{2}(x)=\lim_{x\to-\infty}f^{2}(x)=0\]
为此，先看正无穷的情况。由于积分收敛，对任意的$\varepsilon>0$,存在$M>0$,当$x,y>M$，(不妨设$x<y$)有
\[ \int_{x}^{y}|f(x)f'(x)|dx<\varepsilon \]
因此，对任意的$x,y>M,(x<y)$,有
\[ |f^{2}(x)-f^{2}(y)|=2\left|\int_{x}^{y}f'(t)f(t)dt\right|<2\int_{x}^{y}|f'(t)f(t)|dt<2\varepsilon \]
由Cauchy收敛准则知
\[ \lim_{x\to+\infty}f^2(x)=A \]
再次看到无穷积分收敛，故只能有$A=0$，因此有
\[ \lim_{x\to+\infty}f^2(x)=0 \]
同理可得
\[ \lim_{x\to+\infty}f^2(x)=0=\lim_{x\to-\infty}f^2(x)\]
对$\forall x\in \mathbf{R}$
\begin{align*}
 f^{2}(x)&=\lim_{a\to+\infty}\frac{1}{2}(f^2(x)-f(a))+\frac{1}{2}(f^2(x)-f(-a))\\
 &=\lim_{a\to+\infty}\left(\int_{a}^{x}f(y)f'(y)dy+\int_{-a}^{x}f(y)f'(y)dy\right)\\
&= \int_{+\infty}^{x}f(y)f'(y)dy+\int_{-\infty}^{x}f(y)f'(y)dy\\
&\leq  \int_{-\infty}^{x}|f(y)f'(y)|dy\\
&\leq \frac{1}{2}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}\left(f^{2}(x)+(f'(x))^{2}\right)dx\right]=\frac{1}{2}
\end{align*}
马上得到
\[ |f(x)|<\frac{\sqrt{2}}{2} \]