(1)设$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$是正项收敛级数,试证明

\[ I=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{1-\frac{1}{n}}\]

收敛。

（2）设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是正项收敛级数，试证明

\[ I=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{\frac{bn}{1+bn}}\qquad (b>0) \]

(3)设正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。若正数列$\{b_n\}$满足$\displaystyle b_{n}=o\left(\frac{1}{\ln n}\right)(n\to\infty)$,则

\[ I=\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}^{1-b_n}\]

收敛。

(4)设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的正项级数，则

\[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cdot\frac{\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)}{\ln(1+a_n)}\]

收敛。

(5)设$0<a_n<1$,$n\in \mathbf{N}$,若$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\ln a_n}$收敛，则

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\ln(n+1)}\]

收敛。

(6)设$\{a_n\}$是递增的正数列。若$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$收敛，则对任意的自然数$k$,级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln a_n)^k}{a_n}$收敛的充分必要条件是级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^k}{a_n}\displaystyle$收敛.

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