设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$二阶可导，$f(0)\geq 0,f'(0)\geq 0$,且满足$f(x)\leq f''(x)$,求证
\[ f(x)\geq f(0)+f'(0)x \]
分析：只要证明$f'(x)$是单调递增的就好办了。为此
\[ f''(x)-f(x)\geq 0 \]
\[ (f''(x)+f'(x))-(f'(x)+f(x))\geq 0 \]
这说明
\[ h(x)=e^{-x}(f'(x)+f(x)) \]
在$[0,+\infty)$上递增，并且$h(x)\geq h(0)=f'(0)+f(0)\geq 0 $，作
\[ g(x)=e^{2x}\cdot h(x)=e^{x}(f'(x)+f(x)) \]
由于$e^{2x}>0$和$h$的非负性，及彼此的递增性，知$g(x)$也是递增的.
\[ g(x)=(e^{x}f(x))'_{x} \]
这说明$e^{x}f(x)$是凸函数。故有$g_{1}(x)=e^{x}f(x)$
\[ g_{1}(x)\geq g_{1}(0)+g_{1}'(0)x=f(0)+(f'(0)+f(0))x\geq 0\qquad (x\geq 0) \]
因此
\[ f(x)\geq 0 \]
马上得到
\[ f''(x)\geq f(x)\geq 0 \]
又由拉格朗日型余项的Taylor公式
\[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(\theta)x^2\geq f(0)+f'(0)x \]