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利用级数计算的一个积分

陈洪葛 posted @ 11 年前 in 数学分析 , 1060 阅读

计算
I=10xln2xln(1+x2)4arctanxxdx
注意到
I=10ln2xln(1+x2)dx410arctanxxdx

10ln2xln(1+x2)dx=10(k=1(1)k1kx2k)ln2xdx=k=1(1)k1k10x2kln2xdx=k=12(1)k1k(2k+1)3=k=14(1)k1(12k12k+1)+k=14(1)k1(2k+1)2+k=14(1)k1(2k+1)3
事实上,我们有
Hk,m=10xklnmxdx=(1)mm!(k+1)m+1

410arctanxxdx=4+k=14(1)k(2k+1)2
于是
I=k=14(1)k1(12k12k+1)4k=14(1)k(2k+1)3
而前面那一部分是可以求的
k=14(1)k1(12k12k+1)=2ln2+π4
后面那一部分注意到传说中的Dirichlet Beta Function.(听说这个函数在证明ζ(3)是无理数的时候有很大作用)我们有
β(x)=n=0(1)n(2n+1)x=1+k=1(1)k(2k+1)x
我们有公式
β(2k+1)=(1)kE2k2(2k)!(π2)2k+1
其中E2k代表传说中的Euler数。有
β(1)=π4,β(3)=π332,β(5)=5π51336
这样
I=π38+π12+2ln2


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