利用级数计算的一个积分
陈洪葛
posted @ 11 年前
in 数学分析
, 1060 阅读
计算
I=∫10xln2xln(1+x2)−4arctanxxdx
注意到
I=∫10ln2xln(1+x2)dx−4∫10arctanxxdx
而
∫10ln2xln(1+x2)dx=∫10(∑k=1(−1)k−1kx2k)ln2xdx=∞∑k=1(−1)k−1k∫10x2kln2xdx=∞∑k=12(−1)k−1k(2k+1)3=∞∑k=14(−1)k−1(12k−12k+1)+∞∑k=14(−1)k1(2k+1)2+∞∑k=14(−1)k1(2k+1)3
事实上,我们有
Hk,m=∫10xklnmxdx=(−1)mm!(k+1)m+1
而
4∫10arctanxxdx=4+∞∑k=14(−1)k(2k+1)2
于是
I=∞∑k=14(−1)k−1(12k−12k+1)−4−∞∑k=14(−1)k(2k+1)3
而前面那一部分是可以求的
∞∑k=14(−1)k−1(12k−12k+1)=2ln2+π−4
后面那一部分注意到传说中的Dirichlet Beta Function.(听说这个函数在证明ζ(3)是无理数的时候有很大作用)我们有
β(x)=∞∑n=0(−1)n(2n+1)x=1+∞∑k=1(−1)k(2k+1)x
我们有公式
β(2k+1)=(−1)kE2k2(2k)!(π2)2k+1
其中E2k代表传说中的Euler数。有
β(1)=π4,β(3)=π332,β(5)=5π51336
这样
I=π38+π−12+2ln2