设$a_{n}>0$,$n=1,2\cdots,\alpha=\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln\ln{a_{n}}}{n}$,且
\[ x_{n}=\sqrt{a_{1}+\sqrt{a_{2}+\sqrt{a_{3}+\cdots+\sqrt{a_{n}}}}},\qquad n=1,2,\cdots \]
求证数列$\{x_{n}\}$当$\alpha<\ln 2$时收敛而当$\alpha>\ln 2$时发散。

证明：当$\alpha<\ln2$时，由上极限的定义，存在$n_{0}\in \mathbf{N}$,当$n\geq n_{0}$时，就有$\ln\ln{a_{n}}<n\ln 2$,也就是$a_{n}<e^{2^{n}}$,这时对$n\geq n_{0}$,有
\[\begin{array}{l}
{x_n} = \sqrt {{a_1} +  \cdots  + \sqrt {{a_{{n_0}}} +  \cdots  + \sqrt {{a_n}} } } \\
 \le \sqrt {{a_1} +  \cdots  + \sqrt {{a_{{n_0} + 1}} + \sqrt {{e^{{2^{{n_0}}}}} +  \cdots  + \sqrt {{e^{{2^n}}}} } } } \\
 \le \sqrt {{a_1} +  \cdots  + \sqrt {{a_{{n_0} - 1}} + {e^{{2^{{n_0}}}}}\sqrt {1 + \sqrt {1 + \cdots \sqrt 1 } } } } \\
 \le \sqrt {{a_1} +  \cdots  + \sqrt {{a_{{n_0} - 1}} + {e^{{2^{{n_0}}}}}\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} }
\end{array}\]
所以$x_{n}$是单调递增有上界的序列，故收敛。当$\alpha>\ln 2$时，存在$\beta>2$,对任意的$n_{0}$,都有$n>n_{0}$,使得$a_{n}>e^{\beta^{n}}$,这时
\[\begin{array}{l}
{x_n} = \sqrt {{a_1} +  \cdots  + \sqrt {{a_{{n_0}}} +  \cdots  + \sqrt {{a_n}} } } \\
 > \sqrt {{a_1} +  \cdots  + \sqrt {{a_{{n_0} - 1}} + {e^{\frac{{{\beta ^n}}}{{{2^{n - {n_0} - 1}}}}}}} } \\
 > {e^{{{\left( {\frac{\beta }{2}} \right)}^n}}}
\end{array}\]
显然，$\{x_{n}\}$发散。
我们甚至可以证明$b_{n}>0$,$p>1$
\[ a_{n}=\sqrt[p]{b_{1}+\sqrt[p]{b_{2}+\cdots+\sqrt[p]{b_{n}}}}\]
收敛的充分必要条件是:序列$\left\{\frac{\ln b_{n}}{p^{n}}\right\}$有上界。