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群里的一个套根号问题

陈洪葛 posted @ 11 年前 in 数学分析 , 1051 阅读

设级数
n=12nan+1(a1a2anan+1)12
收敛,证明数列
xn=a1+a2++an
也收敛,这里a1,a2,,an,为正实数。


证明:注意到{xn}是单调递增的。而又有
xn+1xn=a1+a2++an+1a1+a2++an=(a1+a2++an+1a1+a2++an)(a1+a2++an+1+a1+a2++an)(a1+a2++an+1+a1+a2++an)<a2++an+1a2++an2a1<a3++an+1a3++an2a12a2<<an+12na1a2an=an+12na1a2an+1
而由于级数收敛,所以数列{xn}收敛。


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