群里的一个套根号问题
陈洪葛
posted @ 11 年前
in 数学分析
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设级数
∞∑n=12−nan+1(a1a2⋯anan+1)−12
收敛,证明数列
xn=√a1+√a2+⋯+√an
也收敛,这里a1,a2,⋯,an,⋯为正实数。
证明:注意到{xn}是单调递增的。而又有
xn+1−xn=√a1+√a2+⋯+√an+1−√a1+√a2+⋯+√an=(√a1+√a2+⋯+√an+1−√a1+√a2+⋯+√an)(√a1+√a2+⋯+√an+1+√a1+√a2+⋯+√an)(√a1+√a2+⋯+√an+1+√a1+√a2+⋯+√an)<√a2+⋯+√an+1−√a2+⋯+√an2√a1<√a3+⋯+√an+1−√a3+⋯+√an2√a1⋅2√a2<⋯<√an+12n√a1a2⋯an=an+12n√a1a2⋯an+1
而由于级数收敛,所以数列{xn}收敛。