证明
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n-1)!}{n(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(x+k)^2}$$
证明：
我们知道Gamma函数有
$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$$
$$\Gamma(x+n+1)=(x+n)(x+n-1)\cdots(x+1)\Gamma(x+1)$$
这样
$$\frac{(n-1)!}{n(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}=\frac{\Gamma(x+1)\Gamma(n)}{n\Gamma(x+n+1)}=\frac{B(x+1,n)}{n}$$
于是
$$\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{B(x+1,n)}{n}&=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}t^{n-1}(1-t)^{x}dt\\ &=\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n-1}}{n}\right)(1-t)^{x}dt\\ &=\int_{0}^{1}\left[-\frac{\ln(1-t)}{t}\right](1-t)^{x}dt\\ &=\int_{0}^{1}\left[-\frac{\ln{z}}{1-z}\right]z^{x}dz \qquad (z=1-t)\\ &=\int_{0}^{1}(-1)\sum_{k=1}^{\infty}z^{x+k-1}\ln{z}dz\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)\int_{0}^{1}z^{x+k-1}\ln{z}dz\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}ue^{-u(x+k)}du\qquad (z=e^{-u})\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x+k)^2}ye^{-y}dy\qquad (y=u(x+k))\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(x+k)^2} \end{align*}$$