武汉大学2014年基础数学复试笔试题回忆

陈洪葛 posted @ Mar 27, 2014 12:33:46 PM in 数学分析 , 1395 阅读


  好不容易过了复试,大概回忆下考试的题吧,想报考武大基础数学的朋友可以看看。 考试时间有点紧,2个小时要对付8个题呢(总分100),数学分析和高等代数占了多数,常微分方程只有1个题。有个别题目还是比较有难度的,比如Tauber定理,还有代数第1题。考试的时候发的答题纸还是划好了线的,不太容易写清楚,考完以后感觉整个人都不好了。跪。。。o(╯□╰)o。。。

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问题1.(10分)函数$f(x)$在$(-1,1)$上连续,除了$0$这一点外可导。
(1)若$f(x)$的导函数当$x\to 0$时极限存在,证明$f(x)$在$0$点的导数存在。
(2)上述命题的逆命题是否成立?就是说$f(x)$在$0$点的导数存在是不是一定有$f(x)$在$x\to 0$的极限存在?成立请证明,否则给出反例。
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问题2(10分)
证明函数$f(x)$在$(a,b)$上一致连续的充分必要条件是对$(a,b)$上的收敛数列$\{x_{n}\}$,数列$\{f(x_{n})\}$也收敛。
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问题3(10分)
证明含参变量积分
\[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{xy}}{y(1+x)}dy \]
关于$x$在$0<\delta\leq x<+\infty$上一致收敛,在$0<x<+\infty$上非一致收敛。
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问题4(10分)
设$X$是带有度量空间上的紧集,$E\subset X$,$\varphi(x)$是$E$上的变换,且满足
\[ d(\varphi(x),\varphi(y))<d(x,y) \qquad (x\neq y,x,y\in E) \]
证明$\varphi(x)$在$E$中存在唯一的不动点。
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问题5(10分)(Tauber定理)
设在$-1<x<1$上有
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\]
并且
\[ \lim_{n\to\infty}na_{n}=0 \]
若$\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}}f(x)=S$,则$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$收敛且其和为$S$.
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问题6 (15分)

讨论微分方程过点$y=0$的解的存在性和唯一性,其中$\alpha>0$.
\[ \frac{dy}{dx}=|y|^{\alpha} \]
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问题7 (15分)

设$A$是$n$阶可逆复方阵,证明存在分解
\[ A=UT \]
其中$U$是酉矩阵,$T$是主对角线上都是正数的上三角型矩阵,并证明这种分解的唯一性。
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问题8 (20分)
设$V$是数域$F$上的线性空间,$M_{2}(C)$是复数域上的矩阵空间,$f$在$V$中一组基下的矩阵为$A$
\[A = \left({\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}}\right)\]
\[{E_{11}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0
\end{array}} \right),{E_{12}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1\\
0&0
\end{array}} \right),{E_{21}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
1&0
\end{array}} \right),{E_{22}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0\\
0&1
\end{array}} \right)\]
为$M_{2}(C)$的一组基.
(1)求$f$在这组基下的矩阵$B$
(2)找出$V$的两个不变子空间$V_{1},V_{2}$,并分别写出它们的一组基。
(3)证明若矩阵$B$可以对角化的充分必要条件是矩阵$A$可以对角化。

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