一个积分计算

陈洪葛 posted @ May 05, 2014 05:50:33 PM in 数学分析 , 917 阅读

问题:计算
\[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin^{2}(\tan{x})}dx \]
首先,我们用$t=\tan{x}$,得到
\[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin^{2}(\tan{x})}dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)(1+\sin^2{x})}dx\]
而通过倍角公式
\[ 1+\sin^{2}{x}=1+\frac{1}{2}(1-\cos{2x})=\frac{1}{2}(3-\cos{2x}) \]
于是
\[ I=2\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)(3-\cos{2x})}dx\]
这时,回忆起一个恒等式
\[ \frac{1-a\cos{x}}{1-2a\cos{x}+a^2}=1+\sum_{k=0}^{\infty}a^{k}\cos{kx}\qquad (|a|<1) \]
要证明它并不难,只要用$z=a(\cos{x}+i\sin{x})$带入熟悉的展开式
\[ \frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots+z^{n}+\cdots \]
并考察实部就好。对于这个式子,又可以变形成
\[ \frac{1-a^2}{1-2a\cos{x}+a^2}=1+2\sum_{k=1}^{\infty}a^{k}\cos{kx} \]
这时,我们有
\begin{align*}
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1-2a\cos{2x}+a^2)}&=\frac{1}{1-a^2}\left(\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx+2\sum_{k=1}^{\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos{2kx}}{1+x^2}dx \right)\\
&=\frac{1}{1-a^2}\left(\frac{\pi}{2}+2\sum_{k=1}^{\infty}a^{k}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos{2kx}}{1+x^2}dx \right)
\end{align*}
显然,我们得计算积分
\[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos{2kx}}{1+x^2}dx \]
下面设$\displaystyle f(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos{ax}}{1+x^2}dx$,$f(a)$的Laplace变换就是
\begin{align*}
\mathcal{L}(f(a)) & = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(ax)}{1+x^2}e^{-as}\;{da}\;{dx} \\
&= \int_{0}^{\infty}\frac{s}{(1+x^2)(s^2+x^2)}\;{dx} \\
& = \frac{\pi}{2(s+1)}
\end{align*}
因此
\[ f(a) =\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{\pi}{2(s+1)}\right) =\frac{\pi}{2}e^{-|a|}\]
我们有
\[ \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos{2kx}}{1+x^2}dx=f(2k)=\frac{\pi}{2}e^{-2k} \]
于是
\begin{align*}
\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1-2a\cos{2x}+a^2)}
&=\frac{1}{1-a^2}\left(\frac{\pi}{2}+2\sum_{k=1}^{\infty}a^{k}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos{2kx}}{1+x^2}dx\right)\\
&=\frac{\pi}{2(1-a^2)}+\frac{\pi}{1-a^2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{a}{e^2}\right)^{k}\\
&=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{1-a^2}\cdot\frac{e^2+a}{e^2-a}
\end{align*}
这时,只要令$a=3-2\sqrt{2}$,就能方便的计算出
\[ I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin^{2}(\tan{x})}dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+t^2)(1+\sin^2{x})}dx=\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\cdot\frac{e^2+3-2\sqrt{2}}{e^2-3+2\sqrt{2}}\]
 


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