北大某年的考研题

陈洪葛 posted @ May 05, 2014 06:03:46 PM in 数学分析 , 780 阅读

设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续可导,且有
\[ \sup_{-\infty<x<+\infty}|e^{-x^2}f'(x)|<+\infty \]
证明
\[ \sup_{-\infty<x<+\infty}|xe^{-x^2}f(x)|<+\infty \]
证明:这里只考虑$x>0$的情况.
不妨设$M= \sup_{-\infty<x<+\infty}|e^{-x^2}f'(x)|$,则有
\[ |f'(x)|\leq Me^{x^2} \]
\[ |f(x)|\leq |f(x)-f(0)|+|f(0)|\leq \int_{0}^{x}|f'(t)|dt+|f(0)|\leq M\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt+|f(0)| \]
这样就有
\[ |xe^{-x^2}f(x)|\leq Mxe^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt+xe^{-x^2}|f(0)| \]
注意到不等式
\[ e^{x^2}>1+x^2\geq 2x \]
这样
\[ xe^{-x^2}<1 \]
而我们又有
\[ xe^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt\leq 1\]

\[ \sup_{-\infty<x<+\infty}|xe^{-x^2}f(x)|<+\infty \]
 


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