真神的反例问题

陈洪葛 posted @ Jun 09, 2014 11:17:23 AM in 数学分析 , 666 阅读


举例:$f_{n}\in C[a,b]$,$\lim_{n\to\infty}f_{n}=f\in C[a,b]$,但$f_{n}$不一致收敛到$f$
考虑
\[ f_{n}=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}\qquad (x\in[0,1])\]
显然对于任意的$x\in[0,1]$,有
\[ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=0=f \]
故在$[0,1]$上处处收敛到$f=0$,另外,注意到到$x_{n}=\frac{1}{n}$,则
\[ f_{n}(x_{n})=1 \]
可见并不是一致收敛的。


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