举例：$f_{n}\in C[a,b]$,$\lim_{n\to\infty}f_{n}=f\in C[a,b]$,但$f_{n}$不一致收敛到$f$
考虑
$$f_{n}=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}\qquad (x\in[0,1])$$
显然对于任意的$x\in[0,1]$，有
$$\lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=0=f$$
故在$[0,1]$上处处收敛到$f=0$,另外，注意到到$x_{n}=\frac{1}{n}$,则
$$f_{n}(x_{n})=1$$
可见并不是一致收敛的。