级数敛散判别一题

陈洪葛 posted @ Jun 09, 2014 11:18:29 AM in 数学分析 , 669 阅读

问题(by 真神):正项级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$,收敛,证明
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{(n+1)a_{n+1}} \]
发散。

我们可以先找到一个对应的正数列$\{b_{n}\}$,满足
\[ b_{n}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-b_{n+1}\geq 1 \]
事实上,设$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$,$\displaystyle R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}a_{k}$,
\[ b_{n}=\frac{R_{n}}{a_{n}}\qquad (n=1,2\cdots) \]
显然$b_{n}>0$,且有
\[ b_{n}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-b_{n+1}=\frac{R_{n}}{a_{n+1}}-\frac{R_{n+1}}{a_{n+1}}=1 \]
则得到
\[ \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\geq \frac{1+b_{n+1}}{b_{n}} \]
这时,只要证
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+b_{n+1}}{(n+1)b_{n}}=+\infty \]
我们将证明,当
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n+1}}{(n+1)b_{n}}<+\infty \]
时,级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)b_{n}}=+\infty \]
由于级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n+1}}{(n+1)b_{n}}$收敛,则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n+1}}{nb_{n}}$亦收敛,此时由Cauchy收敛准则知道,存在$n$,对任意的$(p>n)$有
\[ \frac{p}{n+p}\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{pb_{k}}<\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{kb_{k}}<\frac{1}{4}\]
\[ \frac{1}{p}\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{a_{k}}<\frac{n+p}{4p}\]
这时,不妨假设$p>n$,则有
\[ \frac{1}{p}\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{b_{k}}<\frac{1}{2} \]
由AM-GM不等式,得到
\[ \sqrt[n]{\frac{b_{n+p+1}}{b_{n+1}}}<\frac{1}{2} \]
于是
\[ \frac{1}{(n+p+1)b_{n+p+1}}>\frac{2^{n}}{(n+p+1)b_{n+1}}\qquad (p>n) \]
不难看到$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nb_{n}}$发散,显然等价为
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)b_{n}}=+\infty \]
所以
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{(n+1)a_{n+1}}=+\infty \]


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