一道证函数连续的题

陈洪葛 posted @ Jun 09, 2014 11:20:21 AM in 数学分析 , 782 阅读

设$f(x)$是$[a,b]$上的单调函数,$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $在$[a,b]$上可导,则$f\in C[a,b]$.

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证明:不妨设$f$单调递增,由于单调的$f$必然是可积函数,所以它的不连续点集是零测集,若$f$ 在$x_{0}$处连续,则有
\[ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_0) \]
就是对任意$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,对任意的$ |h|<\delta$有
\[ |f(x_{0}+h)-f(x_{0})|<\varepsilon \]

于是
\[ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_{0})\right|\leq \frac{1}{h}\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}|f(t)-f(x_{0})|dt\leq \varepsilon \]
这说明
\[ F'(x_0)=f(x_0) \]
\[ m(\{x\in[a,b]|F'(x)\neq f(x)\})=0 \]
不难看到集合$A=\{x\in[a,b]|F'(x)=f(x)\}$是稠密集,现证明相反的方面,若$f$在$x_{0}$不连续,由于$f$单调,则有
\[ M=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)>\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=m \]
就是存在数列$x_{n}> x_{0},x_{n}\in A,x_{n}\to x_{0} (n\to+\infty)$,以及$y_{n}< x_{0},y_{n}\in A,y_{n}\to x_{0} (n\to+\infty)$
使得
\[ \lim_{n\to+\infty}f(x_{n})=M,\lim_{n\to+\infty}f(y_{n})=m \]
而注意到$x_{n},y_{n}$都是从集合$A$中选择的,所以又有
\[ f(x_{n})=F'(x_{n}) \]
\[ f(y_{n})=F'(y_{n}) \]
于是
\[ \lim_{n\to+\infty}F'(y_{n})<\lim_{n\to+\infty}F'(x_n) \]
注意到,若$x<y$,
则当$h$充分小时
\[ \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)dt\leq f(x+h)\leq f(y-h)\leq \frac{1}{h}\int_{y-h}^{y}f(t)dt \]
这就有
\[ F'(x)\leq F'(y) \]
于是$F'(x)$单调,就有
\[ \lim_{x\to x_{0}^{+}}F'(x)=\lim_{n\to+\infty}F'(x_n)>\lim_{n\to+\infty}F'(y_n)= \lim_{x\to x_{0}^{-}}F'(x) \]
这与$F'(x)$的介值性矛盾,所以必然有$f\in C[a,b]$。


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