设$f(x)$是定义在R上的实函数，且对$\forall x$有$f(x),f'(x),f''(x),f'''(x)>0$,假设对$\forall x$有$f'''(x)<f(x)$证明：对一切$x$都有$f'(x)<2f(x)$.
 

证明 对任意固定的$c$，令
$$g(x)=f(x)-f'(x)(x-c)+\frac{f''(x)}{2}(x-c)^{2}$$
则
$$g'(x)=\frac{f'''(x)}{2}(x-c)^{2}\geq 0$$
所以$g(x)$是递增函数，则对$\forall y>0$
$$g(c+y)>g(c-y)$$
也就是
$$g(c+y)=f(c+y)-yf'(c+y)+\frac{f''(c+y)}{2}y^{2}>f(c-y)+yf'(c-y)+\frac{f''(c-y)}{2}y^{2}=g(c-y)$$
注意到
$$f(c+y)-yf'(c+y)+\frac{f''(c+y)}{2}y^{2}>f(c-y)+yf'(c-y)+\frac{f''(c-y)}{2}y^{2}>\frac{f''(c-y)}{2}y^{2}$$
故有
$$f(c+y)-yf'(c+y)>\frac{1}{2}y^{2}[f''(c-y)-f''(c+y)]$$
由拉格朗日中值定理知存在$\theta\in(c-y,c+y)$,满足
$$f''(c+y)-f''(c-y)=2yf'''(\theta)\leq 2yf(\theta)<2yf(c+y)$$
所以
$$f(c+y)-yf'(c+y)+y^3f(c+y)>0$$
而由条件可推断
$$\frac{1+y^3}{y}f(c+y)>f'(c+y)$$
当$y=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$上面的$\frac{1+y^3}{y}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}<2,$
故命题得证。

下面一种证明来着风碎便士同学。
令$c\geq 0$是$f(x)$的下确界，则$f(x)$在$x\rightarrow -\infty$时单调递于$c$,并且容易得到$f'(x),f''(x)$在$x\rightarrow -\infty$时均单调趋于$0$.
这是由于$f''(x)>0$说明$f'(x)$是递增的，故$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}{f'(x)}$要么为$-\infty$,要么为一个常数，而由$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}{f(x)}=c$知，$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}{f'(x)}=0$（其他情况均会矛盾），同样可说明$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}{f''(x)}=0$
从而
$$f'''(x)f''(x)<f(x)f''(x)<f(x)f''(x)+(f'(x))^2$$
两边从$a$到$x$积分，得
$$\frac{1}{2}(f''(x))^2-\frac{1}{2}(f''(a))^2<f(x)f'(x)-f(a)f'(a)$$
再令$a\rightarrow -\infty$得到
$$(f''(x))^2\leq 2f(x)f'(x)$$
从而
$$f'''(x)(f''(x))^2\leq 2f^{2}(x)f'(x)$$
两边从$a$到$x$积分，再令$a\rightarrow -\infty$得到
$$(f''(x))^3\leq 2f^{3}(x)$$
$$f''(x)\leq \sqrt[3]{2}f(x)$$
$$f'(x)f''(x) \leq \sqrt[3]{2}f(x)f'(x)$$
两边从$a$到$x$积分，再令$a\rightarrow -\infty$得到
$$f'(x)\leq \sqrt[6]{2}f(x)<2f(x)$$