求证
\[\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^4}\left(\frac{1}{x}\left(\frac{1}{\tanh{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)-\frac{2}{3} \right)=\frac{4}{945}\]
解：
\[ \left(\frac{1}{\tanh{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)=\frac{(e^{x}+e^{-x})\sin{x}-(e^{x}-e^{-x})\cos{x}}{\sin{x}(e^{x}-e^{-x})}\]
注意到分母最后需要$x^7$项的系数（题外话：还能更高点么。。），为此，必须把$e^{x}+e^{-x}$展开到$o(x^8)$,$\sin{x}$展开到$o(x^9)$,$e^{x}-e^{x}$展开到$o(x^9)$,$\cos{x}$展开到$o(x^8)$.经过一系复杂的计算
\[ e^{x}+e^{-x}=2+x^2+\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{360}x^6+o(x^8) \]
\[ \sin{x}=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5-\frac{1}{5040}x^7+o(x^9) \]
\[ e^{x}-e^{-x}=2x+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{60}x^5+\frac{1}{2520}x^7+o(x^9) \]
\[ \cos{x}=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{720}x^6+o(x^8)\]
\[ (e^{x}+e^{-x})\sin{x}-(e^{x}-e^{-x})\cos{x}=\frac{4}{3}x^4-\frac{2}{315}x^7+o(x^7) \]
同样，对于分母，也必须收集到$x^7$的系数。但这里可以不要那么多次。
\[ x(e^x-e^{-x})\sin{x}=x\left(x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+o(x^7)\right)\left(2x+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{60}x^5+o(x^7)\right)=2x^3-\frac{1}{45}x^7+o(x^7) \]
所以，最后的极限应该是
\[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^4}\left(\frac{\frac{4}{3}x^4-\frac{2}{315}x^7+o(x^7)}{2x^3-\frac{1}{45}x^7+o(x^7)}-\frac{2}{3} \right)=\frac{4}{945}\]
Done!

由这题可见，所谓的加边完全会造成极端复杂的运算,在计算的过程中，咱们得非常小心才是。

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这货还能继续加边成

\[\lim_{x\to0}\frac{1}{x^4}\left[\frac{1}{x^4}\left(\frac{1}{x}\left(\frac{1}{\tanh{x}}-\frac{1}{\tan{x}}\right)-\frac{2}{3} \right)-\frac{4}{945}\right]=\frac{4}{93555}\]