陈洪葛的博客

计算

$$\int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(2-xy)}{1-xy}dx \ dy$$

(tian_275461)

解

$$\begin{align*} \int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(2-xy)}{1-xy}dx \ dy &= \int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln \left(1+(1-xy) \right)}{1-xy}dx \ dy \\  &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}\int_0^1 \int_0^1 (1-xy)^{n-1}dx \ dy \\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\int_0^1 \left(\frac{1-(1-y)^n}{y} \right)dy \\  &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}H_n\\ &=\frac{(-1)^{n}}{n}\int_{0}^{1}{(1-x)^{n-1}\ln{x}dx}\\ &=-\int_{0}^{1}{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(x-1)^{n-1}}{n}\ln{x}}dx}\\ &=\int_{0}^{1}{\frac{\Li_{1}(x-1)\ln{x}}{1-x}dx}\\ &=-\int_{0}^{1}{\frac{\ln{(1+t)}\ln{(1-t)}}{t}dt} \end{align*}$$
为了计算上面的式子，我们先算
$$\int_{0}^{1}{\frac{\ln^{2}{(1+x)}}{x}dx}$$
为此考虑一般的 $$\begin{align*} I(t) &= \int_0^t \frac{\ln^2(1+x)}{x}dx \\ &= \ln t\ln^2(1+t)-2\int_0^t \frac{\ln(x)\ln(1+x)}{1+x}dx \\ &= \ln^2{t}\ln(1+t)-2\int_1^{1+t}\frac{\ln(y) }{y} \left( \ln y+\ln \left( 1-\frac{1}{y}\right)\right)dy \quad (y=x+1)\\ &= \ln t\ln^2(1+t)-\frac{2}{3}\ln^3(1+t)-2\int_{1}^{1+t}{\frac{\ln{y}}{y}\ln{\left(1-\frac{1}{y}\right)}dy} \quad (z=\frac{1}{y})\\ &=\ln t\ln^2(1+t)-\frac{2}{3}\ln^3(1+t)+2\int_{\frac{1}{1+x}}^{1}{\frac{\ln{z}\ln{(1-z)}}{z}dz}\\ &=\ln{t}\ln^2(1+t)-\frac{2}{3}\ln^3(1+t)-2\int_{\frac{1}{1+x}}^{1}{\ln{z}d \Li_{2}(z)}\\ &=\ln{t}\ln^2(1+t)-\frac{2}{3}\ln^3(1+t)-2\left(\ln{z}\Li_{2}(z)\bigg|_{\frac{1}{1+x}}^{1}-\int_{\frac{1}{1+x}}^{1}{\frac{\Li_{2}(z)}{z}dz}\right)\\ &=\ln{t}\ln^2(1+t)-\frac{2}{3}\ln^3(1+t)-2\ln{(1+t)}\Li_{2}\left(\frac{1}{1+t}\right)-2\Li_{3}\left( \frac{1}{1+t} \right)+2\Li_{3}(1)  \end{align*}$$
故
$$I(1)=-\frac{2}{3}\ln^3{2}-2\ln{2}\Li_{2}\left(\frac{1}{2}\right)-2\Li_{3}\left(\frac{1}{2}\right)+2\Li_{3}(1)$$
由
$$\Li_{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{12}(\pi^{2}-6\ln^2{2})$$
$$\Li_{3}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{24}[4\ln^3{2}-2\pi^{2}\ln{2}+21\zeta(3)]$$
$$I(1)=\frac{\zeta(3)}{4}$$
对已知结论
$$\int_{0}^{1}{\frac{\ln^2{(1-x)}}{x}dx}=2\zeta(3)$$
作$x=t^{2}$
$$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{\ln^2{(1-t^2)}}{t}dx}=\zeta(3)$$
$$\Leftrightarrow \int_{0}^{1}{\frac{\ln^2{(1-t)}}{t}dx}+\int_{0}^{1}{\frac{\ln^2{(1+t)}}{t}dx}+2\int_{0}^{1}{\frac{\ln{(1-t)}\ln{(1+t)}}{t}dx}=\zeta(3)$$
$$\Rightarrow \int_{0}^{1}{\frac{\ln{(1-t)}\ln{(1+t)}}{t}dx}=-\frac{5}{8}\zeta(3)$$
故有
$$\int_0^1 \int_0^1 \frac{\ln(2-xy)}{1-xy}dx \ dy=\frac{5}{8}\zeta(3)$$

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根据上面的办法，我们可以得到

$$\int_{0}^{1}{\frac{\ln^{2}(1-t)}{t}dt}=2\zeta(3)$$

$$\int_{0}^{1}{\frac{\ln^{2}(1+t)}{t}dt}=\frac{1}{4}\zeta(3)$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{H_{n}}{n^2}}=2\zeta(3)$$

$$\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-xy)}{1-xy}dxdy =-\zeta(3)$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{H_{n}}{n^3}}=\frac{\pi^4}{72}$$
 

记得这个问题曾经在大约1年前和网友讨论过，那时候真心不会。前几天在AMM上找到了一样的。

设$f(x)$是$[0,1]\rightarrow R$上的连续函数，且记$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$,并有
$$\int_{0}^{1}{x^2f(x)dx}=-2\int_{\frac{1}{2}}^{1}{F(t)dt}$$
求证
$$\int_{0}^{1}{f^2(x)dx}\geq 80\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx}\right)^2$$
(tian_275461)

 首先由条件，我们看到
  $$\int_{0}^{1}{x^2F'(x)dx}=x^2F(x)\bigg|_{0}^{1}-2\int_{0}^{1}{xF(x)dx}=F(1)-2\int_{0}^{1}{xF(x)dx}$$
  $$\Rightarrow\qquad F(1)=2\int_{0}^{1}{xF(x)dx}-2\int_{\frac{1}{2}}^{1}{F(t)dt}=2\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}{xF(x)dx}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}{(x-1)F(x)dx}  \right)$$
 而要证的不等式等价于
  $$\int_{0}^{1}{(F'(x))^{2}dx}\geq 24(F(1))^2=80\left[2\left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}{xF(x)dx}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}{(x-1)F(x)dx}  \right)\right]^{2}$$
 注意到由Cauchy-Schwarz不等式，我们有
  $$\begin{align*}  \int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^4} \int_{0}^{\frac{1}{2}}{(F'(x))^{2}dx}&\geq \left(\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^2F'(x)dx}\right)^{2}\\  &=\left[\frac{1}{4}F\left(\frac{1}{2}\right)-2\int_{0}^{\frac{1}{2}}{xF(x)dx}\right]^{2}\\  &=A^2  \end{align*}$$
  $$\begin{align*}  \int_{\frac{1}{2}}^{1}{(x-1)^4}\int_{\frac{1}{2}}^{1}{(F'(x))^{2}dx}&\geq  \left(\int_{\frac{1}{2}}^{1}{(x-1)^2F'(x)dx}\right)^{2}\\  &= \left[-\frac{1}{4}F\left(\frac{1}{2}\right)-2\int_{\frac{1}{2}}^{1}{(x-1)F(x)dx}\right]^{2}\\  &=B^2  \end{align*}$$
 而由Cauchy-Schwarz不等式，我们有
  $$A^2+B^2\geq \frac{1}{2} (A+B)^2=\frac{1}{2} F^{2}(1)$$
 而
  $$\int_{0}^{\frac{1}{2}}{x^4dx}=\int_{\frac{1}{2}}^{1}{(1-x)^4dx}=\frac{1}{160}$$
 故
  $$\int_{0}^{1}{f^2(x)dx}\geq 80\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx}\right)^2$$
 

对$\forall m\neq 0$,若一个连续函数$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$满足函数方程
$$f\left(2x-\frac{f(x)}{m}\right)=mx$$
则有$f(x)=m(x-c)$.
证明:
我们设$g(x)=2x-\frac{f(x)}{m}$,显然$g(x)$是连续函数且有
$$g(g(x))=2g(x)-x \qquad \forall x\in\mathbb{R}$$
若$g(x_1)=g(x_2)$则有$g(g(x_{1}))=g(g(x_{2}))$,我们得到
$$x_{1}=x_{2}$$
故$g(x)$是一个单射，而我们知道，若$g(x)$是一个连续的单射，则$g(x)$严格单调。（关于这一点可以用反证法证明）,因此，$g(x)$有2种情况,严格递增或者严格递减。下证明$g(x)$只能严格递增。
(反证)设$g(x)$严格递减，则对于$x_{1}<x_{2}$,我们有$g(x_{1})>g(x_{2})$,接着又有$g(g(x_{1}))<g(g(x_{2}))$.而这等价于
$$2g(x_{1})-x_{1}<2g(x_{2})-x_{2}$$
$$\Leftrightarrow 2[g(x_{1})-g(x_{2})]<x_{1}-x_{2}$$
上面不可能成立，因为左边大于0而右边小于0。故$g(x)$只能严格递增。
改写$g(g(x))=2g(x)-x$为
$$g(g(x))-g(x)=g(x)-x$$
递推后得到
$$g^{n}(x)=ng(x)-(n-1)x  \qquad (n\geq 1)$$
这里$g^(n)(x)$表示$n$次符合。
则有
$$g^{n}(x)-g^{n}(0)=n[g(x)-x-g(0)]+x$$
$$\Leftrightarrow \frac{ g^{n}(x)-g^{n}(0)}{n}=g(x)-x-g(0)+\frac{x}{n}$$
而$g(x)$严格递增，$g^{n}(x)$也严格递增，故对上式令$n\rightarrow\infty$,由$g(x)$的单调性，我们得到

$$g(x)\leq x+g(0),\qquad x<0$$
$$g(x)\geq x+g(0),\qquad x>0$$

这样，我们得到$g(x)$的值域也是$\mathbb{R}$，故$g(x)$是一个一一映射。且$g^{-1}$存在。现在，用$x=g^{-1}(g^{-1}(y))$带入原来的方程，则有
$$g^{-1}(g^{-1}(y))=2g^{-1}(y)-y$$
$g^{-1}(y)$同样满足这个方程，则用相同的手段，我们得到

$$g^{-1}(y)\leq y+g(0),\qquad y<0$$
$$g^{-1}(y)\geq y+g(0),\qquad y>0$$

现在，用$x=g^{-1}(y)$带入
$$g(g(x))-g(x)=g(x)-x$$
得到
$$g(y)-y=y-g^{-1}(y)$$
令$y=0$得到$g^{-1}(0)=-g(0)$
假设$g(0)\geq 0$,则对$x>0$有$g(x)\geq x+g(0)>0$,则对$y=g(x)>0$有$x>g(x)+g^{-1}(0)=g(x)-g(0)$.故得到
$$g(x)=x+g(0) \qquad (x>0)$$
同理可得
$$g(x)=x+g(0) \qquad (x<0)$$
这样我们得到$f(x)=m(x-g(0)）$对$x\in \mathbb{R}$成立。

问题：设$f(x)$是$[0,1]$上的单调递增正连续函数。令$\displaystyle s=\frac{\int_{0}^{1}{xf(x)dx}}{\int_{0}^{1}{f(x)dx}}$.求证：
$$\int_{0}^{s}{f(x)dx}\leq \int_{s}^{1}{f(x)dx}\leq \frac{s}{1-s}\int_{0}^{s}{f(x)dx}$$

（假装阳光的蜡烛网友）
证明：我们会用到一个引理

引理(Jensen积分不等式)

设$f\in \mathbb{R}[0,1]$,且$m\leq f(x)\leq M$,$x\in[0,1]$, 又有连续函数$\varphi(x)$在$[n,M]$上是（下）凸的，则
$$\varphi\left( \int_{0}^{1}{f(x)dx}\right)\leq \int_{0}^{1}{\varphi[f(x)]dx}$$

这个定理具体可以参见相关资料，这里不再证明。
回到原问题，我们设
$$F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$
由条件我们知道$F(x)$严格单调递增，并且是凸函数。观察下$\displaystyle s=\frac{\int_{0}^{1}{xf(x)dx}}{\int_{0}^{1}{f(x)dx}}$,不失一般性,我们可以设
$$F(1)=\int_{0}^{1}{f(t)dt}=1$$
这样
$$s=F(1)-\int_{0}^{1}{F(x)dx}=1-\int_{0}^{1}{F(x)dx},\qquad 0\leq F(x)\leq 1,\frac{1}{2}\leq s\leq 1$$
而原不等式变成
$$F(s)\leq 1-F(s)\leq \frac{s}{1-s}F(s)$$
先证左边，就是要证
$$F(s)\leq \frac{1}{2}$$
而根据上面的分析，我们有
$$\begin{align*} F(s)&=F\left(1-\int_{0}^{1}{F(x)dx}\right)\\ &=F\left(\int_{0}^{1}{(1-F(x))dx}\right)\\ &\leq \int_{0}^{1}{F(1-F(x))dx} \qquad\text{(这里用了Jensen不等式)}\\ &=\int_{0}^{1}{F\left(\int_{x}^{1}{f(t)dt}\right)dx}\\ &\leq \int_{0}^{1}{\int_{x}^{1}{F(f(t))dt}dx}\qquad\text{(这里再次用了Jensen不等式)}\\ &\leq   \int_{0}^{1}{\int_{x}^{1}{1dt}dx}\\ &=\frac{1}{2} \end{align*}$$
故左边得证。下面证右边，就是
$$1=F(1)=\int_{0}^{1}{f(t)dt}\leq \frac{1}{1-s}F(s)$$
$$\Leftrightarrow 1-s\leq F(s)$$

$$F(ts)\leq tF(s)+(1-t)F(0)=tF(s)$$
$$F(ts+1-t)\leq tF(s)+(1-t)F(1)=tF(s)+1-t$$
我们有
$$\int_{0}^{s}{F(x)dx}=s\int_{0}^{1}{F(ts)dt}\leq \frac{s}{2}F(s)$$
$$\int_{s}^{1}{F(x)dx}=(1-s)\int_{0}^{1}{F(ts+1-t)dt}\leq \frac{1-s}{2}(F(s)+1)$$
上面两式相加得
$$\frac{1}{2}(F(s)+1-s)\geq \int_{0}^{1}{F(x)dx}=xF(x)\bigg|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{xf(x)dx}=1-s$$
则有
$$1-s\leq F(s)$$
 
$\square$