陈洪葛的博客

设$f(x)$是$[a,b]$上的单调函数，$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt $在$[a,b]$上可导，则$f\in C[a,b]$.

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证明：不妨设$f$单调递增，由于单调的$f$必然是可积函数，所以它的不连续点集是零测集，若$f$ 在$x_{0}$处连续，则有
\[ \lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_0) \]
就是对任意$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,对任意的$ |h|<\delta$有
\[ |f(x_{0}+h)-f(x_{0})|<\varepsilon \]

于是
\[ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_{0})\right|\leq \frac{1}{h}\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}|f(t)-f(x_{0})|dt\leq \varepsilon \]
这说明
\[ F'(x_0)=f(x_0) \]
\[ m(\{x\in[a,b]|F'(x)\neq f(x)\})=0 \]
不难看到集合$A=\{x\in[a,b]|F'(x)=f(x)\}$是稠密集，现证明相反的方面，若$f$在$x_{0}$不连续，由于$f$单调，则有
\[ M=\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)>\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=m \]
就是存在数列$x_{n}> x_{0},x_{n}\in A,x_{n}\to x_{0} (n\to+\infty)$,以及$y_{n}< x_{0},y_{n}\in A,y_{n}\to x_{0} (n\to+\infty)$
使得
\[ \lim_{n\to+\infty}f(x_{n})=M,\lim_{n\to+\infty}f(y_{n})=m \]
而注意到$x_{n},y_{n}$都是从集合$A$中选择的，所以又有
\[ f(x_{n})=F'(x_{n}) \]
\[ f(y_{n})=F'(y_{n}) \]
于是
\[ \lim_{n\to+\infty}F'(y_{n})<\lim_{n\to+\infty}F'(x_n) \]
注意到，若$x<y$,
则当$h$充分小时
\[ \frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(t)dt\leq f(x+h)\leq f(y-h)\leq \frac{1}{h}\int_{y-h}^{y}f(t)dt \]
这就有
\[ F'(x)\leq F'(y) \]
于是$F'(x)$单调，就有
\[ \lim_{x\to x_{0}^{+}}F'(x)=\lim_{n\to+\infty}F'(x_n)>\lim_{n\to+\infty}F'(y_n)= \lim_{x\to x_{0}^{-}}F'(x) \]
这与$F'(x)$的介值性矛盾，所以必然有$f\in C[a,b]$。

问题(by 真神)：正项级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$,收敛，证明
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{(n+1)a_{n+1}} \]
发散。

我们可以先找到一个对应的正数列$\{b_{n}\}$,满足
\[ b_{n}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-b_{n+1}\geq 1 \]
事实上，设$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$,$\displaystyle R_{n}=\sum_{k=n+1}^{\infty}a_{k}$,
\[ b_{n}=\frac{R_{n}}{a_{n}}\qquad (n=1,2\cdots) \]
显然$b_{n}>0$,且有
\[ b_{n}\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-b_{n+1}=\frac{R_{n}}{a_{n+1}}-\frac{R_{n+1}}{a_{n+1}}=1 \]
则得到
\[ \frac{a_{n}}{a_{n+1}}\geq \frac{1+b_{n+1}}{b_{n}} \]
这时，只要证
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+b_{n+1}}{(n+1)b_{n}}=+\infty \]
我们将证明，当
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_{n+1}}{(n+1)b_{n}}<+\infty \]
时，级数
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)b_{n}}=+\infty \]
由于级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n+1}}{(n+1)b_{n}}$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n+1}}{nb_{n}}$亦收敛，此时由Cauchy收敛准则知道，存在$n$,对任意的$(p>n)$有
\[ \frac{p}{n+p}\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{pb_{k}}<\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{kb_{k}}<\frac{1}{4}\]
\[ \frac{1}{p}\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{a_{k}}<\frac{n+p}{4p}\]
这时，不妨假设$p>n$,则有
\[ \frac{1}{p}\sum_{k=n+1}^{n+p}\frac{b_{k+1}}{b_{k}}<\frac{1}{2} \]
由AM-GM不等式，得到
\[ \sqrt[n]{\frac{b_{n+p+1}}{b_{n+1}}}<\frac{1}{2} \]
于是
\[ \frac{1}{(n+p+1)b_{n+p+1}}>\frac{2^{n}}{(n+p+1)b_{n+1}}\qquad (p>n) \]
不难看到$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nb_{n}}$发散，显然等价为
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)b_{n}}=+\infty \]
所以
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}}{(n+1)a_{n+1}}=+\infty \]

举例：$f_{n}\in C[a,b]$,$\lim_{n\to\infty}f_{n}=f\in C[a,b]$,但$f_{n}$不一致收敛到$f$
考虑
\[ f_{n}=\frac{x^2}{x^2+(1-nx)^2}\qquad (x\in[0,1])\]
显然对于任意的$x\in[0,1]$，有
\[ \lim_{n\to\infty}f_{n}(x)=0=f \]
故在$[0,1]$上处处收敛到$f=0$,另外，注意到到$x_{n}=\frac{1}{n}$,则
\[ f_{n}(x_{n})=1 \]
可见并不是一致收敛的。

正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$,若存在正数$\alpha$和$\beta$使得$a_{n}-a_{n+1}\geq \beta a_{n}^{2-\alpha}$,那么$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}<+\infty$,且$\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}a_{n}=O(a_{N}^{\alpha}),N\to\infty$.

证明：首先由
\[ a_{n}-a_{n+1}\geq \beta a_{n}^{2-\alpha}\geq 0\]
知道$a_{n}$单调递减,有下界$0$,则有
\[ \lim_{n\to\infty}a_{n}=a\geq 0 \]
现在讨论$\alpha$,若$\alpha\geq 2$,则$a_{n}^{2-\alpha}\geq a_{1}^{2-\alpha}$,得到
\[ a_{1}\geq n\beta a_{1}^{2-\alpha}\to +\infty (n\to\infty) \]
不科学。所以必然有$0<\alpha<2$,若$1<\alpha<2$,则
\[ \frac{a_{n}-a_{n+1}}{a_{n}^{2-\alpha}}\geq \beta \]
\[ \int_{a_{n+1}}^{a_{n}}\frac{1}{x^{2-\alpha}}dx\geq \beta \]
\[  +\infty>\int_{0}^{a_{1}}\frac{1}{x^{2-\alpha}}dx\geq \int_{a_{n+1}}^{a_{1}}\frac{1}{x^{2-\alpha}}dx\geq n\beta\]
同样不科学。所以必然有$0<\alpha\leq 1$.自然得到
\[ \int_{a_{n+1}}^{a_{n}}\frac{1}{x^{1-\alpha}}dx\geq \beta a_{n}\]
\[ +\infty>\int_{0}^{a_{1}}\frac{1}{x^{1-\alpha}}dx\geq \int_{a_{n+1}}^{a_{1}}\frac{1}{x^{1-\alpha}}dx\geq \beta S_{n}\]
知道$S_{n}$单调递增有上界，因此$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}<+\infty$,自然得到$a=0$.当$\alpha=1$时，
\[ (a_{n}-a_{n+1})\geq \beta a_{n}\qquad (n\geq N)\]
就是
\[ a_{N}\geq \beta\sum_{n=N}^{\infty}a_{n} \]
于是
\[ \sum_{n=N}^{\infty}a_{n}=O(a_{N}) \]
当$0<\alpha<1$时
\[ \frac{1}{\alpha}a_{N}^{\alpha}=\int_{0}^{a_{N}}\frac{1}{x^{1-\alpha}}dx\geq \beta\sum_{n=N}^{\infty}a_{n} \]
得到
\[ \sum_{n=N}^{\infty}a_{n}=O(a^{\alpha}_{N}) \]

设$r_{n}$是$\tan{x}=x$的第$n$个正根，则有
\[ r_{n}=R_{n}-\frac{1}{R_{n}}-\frac{2}{3}\frac{1}{R^3_{n}}-\frac{13}{15}\frac{1}{R_{n}^{5}}-\frac{146}{105}\frac{1}{R_{n}^{7}}-\frac{781}{315}\frac{1}{R_{n}^{9}}+o\left(\frac{1}{R^{10}_{n}} \right)\]
这里
\[ R_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\pi\]