陈洪葛的博客

1.设$f(x)$在$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上连续可导，$f(0)=0,f(\frac{\pi}{2})=1,$求证：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{|f(x)\cdot\sin{x}+f'(x)|dx}\geq 1$$
证明：设 $$F(x)=e^{-\cos{x}}f(x)$$
则 $$F'(x)=e^{-\cos{x}}\left(f(x)\sin{x}+f'(x)\right)$$
$$\Rightarrow F'(x)e^{\cos{x}}=f(x)\cdot\sin{x}+f'(x)$$
$$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{|f(x)\cdot\sin{x}+f'(x)|dx}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{|e^{\cos{x}}F'(x)|dx}$$
注意到 $$e^{\cos{x}}\geq 1, x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$
所以 $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{|e^{\cos{x}}F'(x)|dx}\geq \left|\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{F'(x)dx}\right|=1$$

2.若曲面$z=f(x,y)$的所有切平面均过原点，证明该曲面是锥面。
证明：由于曲面$z=f(x,y)$处处有切平面，故处处可微。
设$(x_{0},y_{0},z_{0})$是曲面上任意一点,则有：
$$z_{0}=f(x_{0},y_{0})$$
过这个点的切平面为
$$z-z_{0}=f'_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})$$
而该平面过原点，
$$\Rightarrow z_{0}=x_{0}\cdot f'_{x}(x_{0},y_{0})+y_{0}\cdot f'_{y}(x_{0},y_{0})$$
故对$z=f(x,y)$上任意的点$(x,y,z)$有
$$\Rightarrow z=x\cdot f'_{x}(x,y)+y\cdot f'_{y}(x,y)$$
$z=f(x,y)$是一次齐次函数
$$\Rightarrow f(tx,ty)=tf(x,y)$$
用极坐标代换$x=r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$
$$z=f(x,y)=f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})=rf(\cos{\theta},\sin{\theta})=\sqrt{x^2+y^2}f(\cos{\theta},\sin{\theta})$$

3.设
$$H=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1,z\geq 0 \}$$
$$C=\{(x,y,0):x^2+y^2=1\}$$
而$P$是$C$的内接正五边形，求$H$位于$P$的上方部分面积。
我们考虑旋转体表面积公式，$y=f(x) x\in[a,b]$
$$P=2\pi \int_{a}^{b}{y\sqrt{1+(y'_{x})^{2}}dx}$$
设$H$位于$P$上部分面积为$S_{H}$
$$S_{H}+5I=\frac{1}{2}4\pi=2\pi$$
$$I=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \int_{\sin{54^{o}}}^{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}dx}=\pi(1-\sin{54^{o}})$$
$$\Rightarrow S_{H}=5\pi\cdot\sin{54^{o}}-3\pi$$