Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Oct 13

f(a)=+0ex|sinx|adx
可以看到,当a0时是一致收敛的,a1时是发散的,下证明在(0,1)内闭一致收敛。
将积分区域分割使无穷积分变成个级数,再做变量替换,得到
f(a)=k=0(k+1)πkπex|sinx|adx(x=kπ+t)=k=0ekππ0etsinatdt=11eππ0etsinatdt
注意到不等式(对0<t1,0<ε<12,εa1ε)
etsinat(π2t)a(π2)1ε1t1ε
所以,根据Weierstrass判别法,可知积分
10etsinatdt
关于a[ε,1ε]一致收敛,同理,积分
π1etsinatdt
也在[ε,1ε]一致收敛。

 

__________________________________________________________________________________

计算
I(α)=+0ln(α2+x2)β2+x2dx
首先讨论β0的情况,记f(x,α)=ln(α2+x2)β2+x2,则
fα(x,α)=2α(α2+x2)(β2+x2)
我们看到ffα(0,+)×(,+)上连续。注意到
|ln(α2+x2)|β2+x2ϕ(x)β2+x2(ϕ(x)=|ln(A2+x2)|
可知积分I(α)在任一区间[A,A]上一致收敛,另外
2α(α2+x2)(β2+x2)2A(ε2+x2)(β2+x2)
知积分
I(α)=+02αdx(α2+x2)(β2+x2)
0<ε|α|A上一致收敛。从而
I(α)=πα|αβ|(|α|+|β|)(αβ0)
I(α)=πln(|α|+|β|)|β|+C

I(0)=2+0lnxβ2+x2dx=2|β|+0+2|β|0lnt1+t2dt=πln|β||β|
这说明C=0
I(α)=πln(|α|+|β|)|β|
β=0,则积分I(α)只在|α|=1时收敛,此时,有
I(α)=0ln(1+x2)x2dx=π

 

Oct 11

a,b,c>0,有
a3a2+ab+b2+b3b2+bc+c2+c3c2+ca+a2a+b+c3
证明:作替换x2=a,y2=b,z2=c,不等式变成
cycx6x4+x2y2+y4+2cycx3y3(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz3
注意到
cycx6x4+x2y2+y4=cycy6x4+x2y2+y4
因此,不等式变成
12cycx6+y6x4+x2y2+y4+2cycx3y3(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz3
6cycx3y3(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)12cyc(x2+y2+4xy3(x6+y6)x4+x2y2+y4)

12cyc(x2+y2+4xy3(x6+y6)x4+x2y2+y4)=cyc6x3y3(xy)4(x+y)2x4+x2y2+y4

6cycx3y3(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)cyc6x3y3(xy)4(x+y)2x4+x2y2+y4
注意到两组顺序
x3y3x4+x2y2+y4,y3z3y4+y2z2+z4,z3x3z4+z2x2+x4
1x4+x2y2+y4,1y4+y2z2+z4,1z4+z2x2+x4
由排序不等式有
cycx3y3(x4+x2y2+y4)(y4+y2z2+z4)cycx3y3x4+x2y2+y4
Hence we are done!
 

Sep 22

计算
k=1Γ2(k)kΓ(2k)
我们看到级数就是
k=1[(k1)!]2k(2k)!
我们从一个显然的公式说起
11+x2=k=0(1)kx2k
两边对x积分,得到
arctanx=+n=0(1)nx2n+12n+1
注意到有
arctan(x1x2)=arcsinx
我们用(x1x2)替换x得到
arcsinx=+n=0(1)n12n+1(x1x2)2n+1
xarcsinx1x2=n=1(1)n1x2n(2n1)(1x2)n=n=1(1)n12n1j=0Cjn+j1x2(j+n)=m=1x2mmk=1(1)k1(m1)!(k1)!(mk)!(2k1)
这里用到了
1(1x)n=m=0(m+n1)!m!(n1)!xm
注意到恒等式
mCm2mm1j=0(1)j(m1)!j!(mj1)!(2j+1)=22m1
我们得到
2xarcsinx1x2=n=1(2x)2nnCn2n
两边除x后积分,得到
(arcsinx)2=12n=1(2x)2nn2Cn2n
4(arcsinx)2=n=1[(n1)!]2n(2n1)!(2x)2n
x=12
得到级数
k=1Γ2(k)kΓ(2k)=π29

Aug 31

f(x)[0,2]内连续,且在(0,2)内可导,且f(1)=0,求证:ξ(0,2),使得
f(ξ)=π(ξtanξ)2ξ2secξπξtanξf(ξ)
(西西)


证明 构造
F(x)=(2πsinxx)f(x)
由于F(π2)=F(1)=0
由Rolle定理知ξ(0,2)使得
F(ξ)=0
F(x)=π(sinxxcosxx2)f(x)+f(x)(2xπsinxx)
π(sinξξcosξξ2)f(ξ)+f(ξ)(2ξπsinξξ)=0
f(x)=π(ξtanξ)2ξ2secξπξtanξf(ξ)
 

Aug 28

a,b,c>0,a2+b2+c2=3证明
aa2+b2+1+bb2+c2+1+cc2+a2+13
证明
由Cauchy-Schwarz不等式
(aa2+b2+1)2(a2+c2+1)a(a2+b2+1)(a2+c2+1)=9a(a2+b2+1)(a2+c2+1)
下面证明
a(a2+b2+1)(a2+c2+1)13
12a3a334a2b2c22a4
a2b2c21,只要证明
12a3a3332a4
cyc(1a2)(2a33a+2+9a+1)0
(1a2)Sa,易得ScSbSa
由切比雪夫不等式
(1a2)Sa13(1a2)Sa=0
Done!

http://tieba.baidu.com/p/2558178633?pid=38027005475&cid=&from=prin#38027005475&qq-pf-to=pcqq.temporaryc2c

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=3195833#p3195833