f(a)=∫+∞0e−x|sinx|adx
可以看到,当a≤0时是一致收敛的,a≥1时是发散的,下证明在(0,1)内闭一致收敛。
将积分区域分割使无穷积分变成个级数,再做变量替换,得到
f(a)=∞∑k=0∫(k+1)πkπe−x|sinx|adx(x=kπ+t)=∞∑k=0e−kπ∫π0e−tsinatdt=11−e−π∫π0e−tsinatdt
注意到不等式(对0<t≤1,0<ε<12,ε≤a≤1−ε)
e−tsinat≤(π2t)a≤(π2)1−ε⋅1t1−ε
所以,根据Weierstrass判别法,可知积分
∫10e−tsinatdt
关于a∈[ε,1−ε]一致收敛,同理,积分
∫π1e−tsinatdt
也在[ε,1−ε]一致收敛。
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计算
I(α)=∫+∞0ln(α2+x2)β2+x2dx
首先讨论β≠0的情况,记f(x,α)=ln(α2+x2)β2+x2,则
f′α(x,α)=2α(α2+x2)(β2+x2)
我们看到f与f′α在(0,+∞)×(−∞,+∞)上连续。注意到
|ln(α2+x2)|β2+x2≤ϕ(x)β2+x2(ϕ(x)=|ln(A2+x2)|
可知积分I(α)在任一区间[−A,A]上一致收敛,另外
2α(α2+x2)(β2+x2)≤2A(ε2+x2)(β2+x2)
知积分
I′(α)=∫+∞02αdx(α2+x2)(β2+x2)
在0<ε≤|α|≤A上一致收敛。从而
I′(α)=πα|αβ|(|α|+|β|)(αβ≠0)
I(α)=πln(|α|+|β|)|β|+C
而
I(0)=2∫+∞0lnxβ2+x2dx=2|β|∫+∞0+2|β|∫∞0lnt1+t2dt=πln|β||β|
这说明C=0
I(α)=πln(|α|+|β|)|β|
若β=0,则积分I(α)只在|α|=1时收敛,此时,有
I(α)=∫∞0ln(1+x2)x2dx=π