Dec 1
(1)设$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$是正项收敛级数,试证明
\[ I=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{1-\frac{1}{n}}\]
收敛。
（2）设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是正项收敛级数，试证明
\[ I=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{\frac{bn}{1+bn}}\qquad (b>0) \]
(3)设正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。若正数列$\{b_n\}$满足$\displaystyle b_{n}=o\left(\frac{1}{\ln n}\right)(n\to\infty)$,则
\[ I=\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}^{1-b_n}\]
收敛。
(4)设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的正项级数，则
\[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n\cdot\frac{\ln\left(\frac{1}{a_n}\right)}{\ln(1+a_n)}\]
收敛。
(5)设$0<a_n<1$,$n\in \mathbf{N}$,若$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\ln a_n}$收敛，则
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{\ln(n+1)}\]
收敛。
(6)设$\{a_n\}$是递增的正数列。若$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$收敛，则对任意的自然数$k$,级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln a_n)^k}{a_n}$收敛的充分必要条件是级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^k}{a_n}\displaystyle$收敛.
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